Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Хэрчмийг хуваах цэг (2)
$A(5,4), B(0,-1), C(8,-2)$ цэгүүд өгөгдөв.
- $AB$ хэрчмийг дотоод байдлаар $3:2$ харьцаагаар хуваах $P$ цэг, $3:2$ харьцаагаар гадаад байдлаар хуваах $Q$ цэгүүдийг ол.
- $\triangle ABC$-ийн хүндийн төв $G$ цэгийг ол.
- $\triangle PQR$-ийн хүндийн төв $G$ бол $R$ цэгийг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Координатын хавтгайн $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), C(x_3,y_3)$
цэгүүдийн хувьд $AB$ хэрчмийг $m:n$ харьцаагаар хуваах
цэгийн координат нь:
$$\left(\dfrac{nx_1+mx_2}{m+n},\dfrac{ny_1+my_2}{m+n}\right)$$
болох ба $m>0, n>0$ бол дотоод байдлаар, $m>0$, $n< 0$ бол гадаад байдлаар хуваана.
Гурвалжны 3 медиан нэг цэгээр огтлолцдог бөгөөд уг цэгийг гурвалжины хүндийн төв гэдэг. Гурвалжны медиануудын огтлолцолын цэг нь медиануудаа орой талаас $2:1$ гэсэн харьцаагаар хуваадаг.
$\triangle ABC$-ийн хүндийн төвийн координат нь:
$$\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$$
Бодолт:
- $P$ цэгийн координат нь: $$\left(\dfrac{2\cdot 5+3\cdot 0}{3+2},\dfrac{2\cdot 4+3\cdot (-1)}{3+2}\right)=(2, 1)$$ $Q$ цэгийн координат нь: $$\left(\dfrac{(-2)\cdot 5+3\cdot 0}{3-2},\dfrac{(-2)\cdot 4+3\cdot (-1)}{3-2}\right)=(-10,-11)$$
- $G$-ийн координат нь: $$\left(\dfrac{5+0+8}{3},\dfrac{4+(-1)+(-2)}{3}\right)=\left(\dfrac{13}{3}, \dfrac13\right)$$
- $R(x,y)$ гэвэл $\triangle PQR$-ийн хүндийн төв нь: $$\left(\dfrac{2+(-10)+x}{3},\dfrac{1+(-11)+y}{3}\right)=\left(\dfrac{x-8}{3}, \dfrac{y-10}{3}\right)$$ болох тул $\dfrac{x-8}{3}=\dfrac{13}{3}$, $\dfrac{y-10}{3}=\dfrac13$ буюу $x=21, y=11$ $$R(21, 11)$$