Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$P: y=x^2+kx+1, A(2,1), B(4,7)$ гэе.

$A, B$ цэгүүд $P$ муруйгаар таслагдсан хавтгайн өөр өөр хэсгүүдэд байх $k$-г ол.
$AB$ хэрчим $P$ муруйтэй ерөнхий цэгтэй байх $k$-г ол.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар: $A, B$ цэгүүд $f(x, y)=0$ муруйн хоёр өөр мужид байхын тулд $$f(A)\cdot f(B)< 0$$ байх ёстой.

Бодолт:

$f(x, y)=x^2+kx+1-y$ гэе. $A$, $B$ цэгүүд хоёр өөр мужид оршихын тулд $f(2, 1)\cdot f(4, 7)=(k+2)(2k+5)< 0$ байна. Иймд $-\dfrac52< k< -2$ юм.
1. Хэрэв $A$, $B$ цэгүүд хоёр өөр мужид оршдог бол $AB$ хэрчим $P$ муруйтай нэг ерөнхий цэгтэй тул $-\dfrac52\leq k\leq -2$ байна.
2. $A$, $B$ цэгүүд $P$ муруйн гадаад мужид оршдог байг. $AB: y=3x-5$ тул $AB$ ба $P$-ийн огтлолцол $g(x)=x^2+(k-3)x+6=0$ тэгшитгэлээр тодорхойлогдоно. $g(x)=0$ тэгшитгэлийн хоёр шийд $2\leq x\leq 4$ байх ёстой. Иймд $2\leq \dfrac{-(k-3)\pm\sqrt{D}}{2}\leq 4$, $D=(k-3)^2-4\cdot 6\geq 0$ буюу $-2\leq k\leq 3-2\sqrt{6}$ байна.
(A), (B)-ээс $-\dfrac52\leq k\leq 3-2\sqrt{6}$ үед $AB$ хэрчим $P$ муруйтай ерөнхий цэгтэй.