Монгол Бодлогын Сан

Заавар:

1. $x^2+y^2$ нь $(0,0)$ цэг ба $(x,y)$ цэгийн хоорондох зайн квадрат.
2. $x+y=u$, $2x-y=v$ гэвэл $q=v-u^2$ болно.

Бодолт: (A) $xy$ хавтгайд координат нь дээрх нөхцлийг хангах цэгүүдийн олонлогийг $D$ гэе. $$r=x^2+y^2 \boldsymbol{\cdots}(1)$$ нь $O(0, 0)$ төвтэй $\sqrt{r}$ радиустай тойрог тул (1) нь $D$ мужтай ерөнхий цэгтэй байх ёстой. Иймд $P(2,2)$ цэгийг дайрсан тойрог $D$ мужтай ерөнхий цэгтэй хамгийн бага радиустай тойрог юм.

$$r\geq 2^2+2^2=8.$$

(B) $x+y=u$, $2x-y=v$ гэвэл $$q=v-u^2$$ болно. $uv$ координатын системд $|u|\leq 1$, $|v|\leq 1$ муж нь $E$ квадрат байна. $$q=v-u^2\Rightarrow v=u^2+q$$ нь $(0, q)$ цэгт оройтой дээшээ харсан парабол байна. $q$ ихэсэхэд парабол дээшээ шилжих тул $-1\leq q\leq 1$ байна. $(u, v)=(0, 1)$ үед $q=1$, $(u, v)=(0,-1)$ үед $q=-1$ байна.