Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Парабол ба тойргийн ерөнхий цэг
$y=x^2 \boldsymbol{\cdots}(1)$ парабол ба $x^2+(y-2)^2=r^2, (r>0) \boldsymbol{\cdots}(2)$ тойрог өгөгдөв.
- Дөрвөн цэгээр огтлолцох $r$-ийн утгын мужийг ол.
- Тойрог ба парабол шүргэлцэх $r$-ийн утгыг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Ерөнхий цэг $\Leftrightarrow$ Систем тэгшитгэлийн шийд.
Шүргэлтийн цэг $\Leftrightarrow$ (1) ба (2) систем
тэгшитгэлийн 2 шийд давхцах.
Бодолт: $y=x^2 \boldsymbol{\cdots}(1)$,
$x^2+(y-2)^2=r^2 \boldsymbol{\cdots}(2).$ (1) ба (2)-оос
$x$-ийг зайлуулбал $y+(y-2)^2=r^2$ буюу
$y^2-3y+4-r^2=0 \boldsymbol{\cdots}(3)$.
(3) тэгшитгэлийн $y\geq 0$ нөхцлийг хангах шийд нь тойрог
ба параболын огтлолцлын цэгийн ординат ба $y$-ийн нэг утганд
$x$-ийн хоёр утга харгалзана. $y=0$ үед л $x=0$ гэсэн утга
харгалзана.
- Дөрвөн цэгээр огтлолцох нөхцөл нь (3) тэгшитгэл ялгаатай хоёр эерэг шийдтэй байх явдал юм. $$\left(y-\dfrac32\right)^2+4-r^2-\dfrac94=0 $$ $$ y_1=\dfrac32+\dfrac12\cdot \sqrt{-4(4-r^2)+9} $$ $$ y_2=\dfrac32-\dfrac12\cdot \sqrt{9-4(4-r^2)}$$ $y_1>0$ ба $y_2>0$ гэдгээс $$\left\{% \begin{array}{l} 9-4(4-r^2)>0, \\ 4(4-r^2)>0 \\ \end{array}% \right. \Rightarrow\dfrac74< r^2< 4\Rightarrow \dfrac{\sqrt{7}}{2}< r< 2$$
- Дараах хоёр тохиодолд шүргэлцэнэ.
- (3) тэгшитгэлийн хувьд шийд давхцах. $D=0 \Rightarrow r^2=\dfrac74 \Rightarrow r=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$
- (3) тэгшитгэлийн $y_1, y_2$-ийн нэг нь $0$ байх. $y=0$ $\Rightarrow$ $4-r^2=0$ $\Rightarrow$ $r=2$ үед $x=0$ нь давхцах шийд юм. Иймд $$r=\dfrac{\sqrt{7}}{2}, 2$$