Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Ерөнхий цэг $\Leftrightarrow$ Систем тэгшитгэлийн шийд. Шүргэлтийн цэг $\Leftrightarrow$ (1) ба (2) систем тэгшитгэлийн 2 шийд давхцах.

Бодолт: $y=x^2 \boldsymbol{\cdots}(1)$, $x^2+(y-2)^2=r^2 \boldsymbol{\cdots}(2).$ (1) ба (2)-оос $x$-ийг зайлуулбал $y+(y-2)^2=r^2$ буюу $y^2-3y+4-r^2=0 \boldsymbol{\cdots}(3)$. (3) тэгшитгэлийн $y\geq 0$ нөхцлийг хангах шийд нь тойрог ба параболын огтлолцлын цэгийн ординат ба $y$-ийн нэг утганд $x$-ийн хоёр утга харгалзана. $y=0$ үед л $x=0$ гэсэн утга харгалзана.

1. Дөрвөн цэгээр огтлолцох нөхцөл нь (3) тэгшитгэл ялгаатай хоёр эерэг шийдтэй байх явдал юм. $$\left(y-\dfrac32\right)^2+4-r^2-\dfrac94=0$$ $$y_1=\dfrac32+\dfrac12\cdot \sqrt{-4(4-r^2)+9}$$ $$y_2=\dfrac32-\dfrac12\cdot \sqrt{9-4(4-r^2)}$$ $y_1>0$ ба $y_2>0$ гэдгээс $$\left\{% \begin{array}{l} 9-4(4-r^2)>0, \\ 4(4-r^2)>0 \\ \end{array}% \right. \Rightarrow\dfrac74< r^2< 4\Rightarrow \dfrac{\sqrt{7}}{2}< r< 2$$
2. Дараах хоёр тохиодолд шүргэлцэнэ.
   1. (3) тэгшитгэлийн хувьд шийд давхцах. $D=0 \Rightarrow r^2=\dfrac74 \Rightarrow r=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$
   2. (3) тэгшитгэлийн $y_1, y_2$-ийн нэг нь $0$ байх. $y=0$ $\Rightarrow$ $4-r^2=0$ $\Rightarrow$ $r=2$ үед $x=0$ нь давхцах шийд юм. Иймд $$r=\dfrac{\sqrt{7}}{2}, 2$$