Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$A(0,-2)$ , $B(4,0)$ цэгүүд ба $y=x^2$ парабол дээр хөдөлж буй $P$ цэгүүдээр тодорхойлогдох $S_{\triangle PAB}$ -ийн хамгийн бага утгыг ол.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

$S_{\triangle PAB}=\dfrac 12\cdot AB\cdot$ (

$P$ ба

$AB$ -ийн хоорондох зай) ба

$AB$ -нь тогтмол тул

$P$ цэг ба

$AB$ -ийн хоорондын зайн хамгийн бага утгыг олох шаардлагатай. Түүнчлэн

$P$ нь

$y=x^2$ параболын цэг учраас координат нь

$P(t, t^2)$ байна.

Бодолт:

$P$ цэг

$y=x^2$ параболын цэг тул координатыг нь

$(t, t^2)$ гэе.

$AB$ шулууны тэгшитгэл

$x-2y-4=0$

$\Rightarrow$

$P$ цэг ба

$AB$ шулууны хоорондын зай

$\displaystyle d=\dfrac{|t-2t^2-4|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\dfrac{|2t^2-t+4|}{\sqrt{5}}$ ,\\

$S_{\triangle PAB}=\dfrac 12AB\cdot d$ ба

$AB=\sqrt{(-2)^2+4^2}= \sqrt{20}=2\sqrt{5}$ тул

$S_{\triangle PAB}=\dfrac 12\cdot2 \sqrt{5}\cdot\dfrac{|2t^2-t+4|}{\sqrt{5}}=|2t^2-t+4|$

$2t^2-t+4=2\left(t-\dfrac14\right)^2+\dfrac{31}{8}>0$ тул

$S_{\triangle PAB}=2t^2-t+4$ юм. Иймд

$S_{\triangle PAB}$ -ийн хамгийн бага утга

$t=\dfrac14$ үед

$\dfrac{31}8$ байна.