Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$P(x)=(x-1)(x^{4n}-1)$ , $Q(x)=(x^4-1)(x^n-1)$ гэе.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

Олон гишүүнт тус бүрийг үржигдэхүүн болгон задлаад $k$ сондгой тоо бол $a^k+1=(a+1)(a^{k-1}-a^{k-2}+a^{k-3}-\ldots -a+1)$ томъёог ашигла.
$P(x)$ нь $Q(x)$ -д хуваагдахгүй бол $Q(x)$ олон гишүүнтийн ядаж 1 язгуур нь $P(x)$ олон гишүүнтийн язгуур болохгүй байна.

Бодолт:

$P(x)=(x-1)\cdot (x^{4n}-1)=(x-1)(x^{2n}+1)(x^n+1)(x^n-1)$ ба

$Q(x)=(x^4-1)\cdot (x^n-1)=(x^2+1)(x+1)(x-1)(x^n-1)$ болно.

$n$ -нь сондгой натурал тоо бол $a^n+1=(a+1)(a^{n-1}-a^{n-2}+a^{n-3}-\ldots -a+1)$ томъёогоор $x^n+1$ хь $x+1$ д, $x^{2n}+1$ хь $x^2+1$ д тус бүр хуваагдах тул $P(x)$ нь $Q(x)$ -д хуваагдана.
Хэрэв $n$ тэгш бол $x=-1$ тоо $Q(x)$ -ийн язгуур болох боловч $P(x)$ -ийн язгуур болохгүй тул $P(x)$ нь $Q(x)$ -д хуваагдахгүй.