Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №10114
n∈N, 0<a<1 гэе. x=12(a1n+a−1n) үед (x+√x2−1)n-ыг хялбарчил.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: x+√x2−1 илэрхийллийг хялбарчил.
Бодолт: x=12(a1n+a−1n) бол x2−1=14(a2n+a−2n+2)−1=
14(a2n+a−2n−2)=14(a1n−a−1n)2 байна.
0<a<1 үед ax нь буурах функц ба −1n<1n тул a1n<a−1n байна. Иймд √x2−1=√14(a1n−a−1n)2=12|a1n−a−1n|=12(a−1n−a1n) тул x+√x2−1=12(a1n+a−1n)+12(a−1n−a1n)=a−1n.
Иймд (x+√x2−1)n=(a−1n)n=a−1n⋅n=a−1.
0<a<1 үед ax нь буурах функц ба −1n<1n тул a1n<a−1n байна. Иймд √x2−1=√14(a1n−a−1n)2=12|a1n−a−1n|=12(a−1n−a1n) тул x+√x2−1=12(a1n+a−1n)+12(a−1n−a1n)=a−1n.
Иймд (x+√x2−1)n=(a−1n)n=a−1n⋅n=a−1.