Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $A+B+C=180^{\circ}$ гэдгийг ашиглан хувьсагчийг багасга. Илэрхийллийг үржигдэхүүн болгон задла. Мөн $(1)$ ба $(2)$ нөxцөл нь $A$, $B$ хувьсагчуудын хувьд тэгш хэмтэйг анхаар.

Бодолт: $0^{\circ}< A$, $0^{\circ}< B$, $0^{\circ}< C$, $A+B+C=180^{\circ} \boldsymbol{\cdots}(3)$ учраас $A$, $B$, $C$ өнцгүүд тус бүрдээ $180^{\circ}$-аас бага. $$A< 180^{\circ},~B< 180^{\circ},~C< 180^{\circ} \boldsymbol{\cdots}(4)$$ $(3)$-аас $C=180^{\circ}-A-B$-г олъё $\boldsymbol{\cdots}(3)^\prime$. $$\cos C=\cos (180^{\circ}-A-B)=-\cos (A+B)=-\cos A\cdot \cos B+\sin A\cdot \sin B.$$ Иймд $(1)$-ээс $\cos A\cdot \cos B=0 \boldsymbol{\cdots}(5)$.

$(2)$-аас $\sin A+\sin B=\sqrt{3}\sin (A+B)+1 \boldsymbol{\cdots}(6)$.

$(5)$-аас $\cos A=0\lor\cos B=0.$ Хэрэв $\cos A=0$ бол $0< A< 180^{\circ}$ тул $A=90^{\circ}$.

$(6)$-аас $1+\sin B=\sqrt{3}\sin (90^{\circ}+B)+1$ тул $\sin B=\sqrt{3}\cos B$ $\Rightarrow$ $\tg B=\sqrt{3}$, $0< B< 180^{\circ} \Rightarrow$ $B=60^{\circ}$

$(3)^\prime$-аас $C=30^{\circ}$. $A$ ба $B$ нь тэгш хэмтэйг анхаарвал $\cos B=0$ үед $A=60^\circ$, $B=90^\circ$, $C=30^\circ$ тул: $$(A,B,C)=(90^{\circ},60^{\circ},30^{\circ})\lor (60^{\circ},90^{\circ},30^{\circ})$$ болно.