Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Тригонометрийн хувиргалт ба тэгшитгэл
$A$, $B$, $C$-эерэг өнцгүүдийн нийлбэр $A+B+C=180^{\circ}$ ба $$\bigg\{ \begin{array}{cc} \sin A\cdot \sin B=\cos C & \boldsymbol{\cdots}(1)\\ \sin A+\sin B=\sqrt{3}\sin C+1 & \boldsymbol{\cdots}(2)\\ \end{array}$$ бол $A$, $B$, $C$-г ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $A+B+C=180^{\circ}$ гэдгийг ашиглан хувьсагчийг багасга.
Илэрхийллийг үржигдэхүүн болгон задла. Мөн $(1)$ ба $(2)$
нөxцөл нь $A$, $B$ хувьсагчуудын хувьд тэгш хэмтэйг анхаар.
Бодолт: $0^{\circ}< A$, $0^{\circ}< B$, $0^{\circ}< C$,
$A+B+C=180^{\circ} \boldsymbol{\cdots}(3)$ учраас $A$, $B$, $C$ өнцгүүд тус бүрдээ $180^{\circ}$-аас бага.
$$A< 180^{\circ},~B< 180^{\circ},~C< 180^{\circ} \boldsymbol{\cdots}(4)$$
$(3)$-аас $C=180^{\circ}-A-B$-г олъё $\boldsymbol{\cdots}(3)^\prime$.
$$\cos C=\cos (180^{\circ}-A-B)=-\cos (A+B)=-\cos A\cdot
\cos B+\sin A\cdot \sin B.$$
Иймд $(1)$-ээс $\cos A\cdot \cos B=0 \boldsymbol{\cdots}(5)$.
$(2)$-аас $\sin A+\sin B=\sqrt{3}\sin (A+B)+1 \boldsymbol{\cdots}(6)$.
$(5)$-аас $\cos A=0\lor\cos B=0.$ Хэрэв $\cos A=0$ бол $0< A< 180^{\circ}$ тул $A=90^{\circ}$.
$(6)$-аас $1+\sin B=\sqrt{3}\sin (90^{\circ}+B)+1$ тул $\sin B=\sqrt{3}\cos B$ $\Rightarrow$ $\tg B=\sqrt{3}$, $0< B< 180^{\circ} \Rightarrow$ $B=60^{\circ}$
$(3)^\prime$-аас $C=30^{\circ}$. $A$ ба $B$ нь тэгш хэмтэйг анхаарвал $\cos B=0$ үед $A=60^\circ$, $B=90^\circ$, $C=30^\circ$ тул: $$(A,B,C)=(90^{\circ},60^{\circ},30^{\circ})\lor (60^{\circ},90^{\circ},30^{\circ})$$ болно.
$(2)$-аас $\sin A+\sin B=\sqrt{3}\sin (A+B)+1 \boldsymbol{\cdots}(6)$.
$(5)$-аас $\cos A=0\lor\cos B=0.$ Хэрэв $\cos A=0$ бол $0< A< 180^{\circ}$ тул $A=90^{\circ}$.
$(6)$-аас $1+\sin B=\sqrt{3}\sin (90^{\circ}+B)+1$ тул $\sin B=\sqrt{3}\cos B$ $\Rightarrow$ $\tg B=\sqrt{3}$, $0< B< 180^{\circ} \Rightarrow$ $B=60^{\circ}$
$(3)^\prime$-аас $C=30^{\circ}$. $A$ ба $B$ нь тэгш хэмтэйг анхаарвал $\cos B=0$ үед $A=60^\circ$, $B=90^\circ$, $C=30^\circ$ тул: $$(A,B,C)=(90^{\circ},60^{\circ},30^{\circ})\lor (60^{\circ},90^{\circ},30^{\circ})$$ болно.
Сорилго
Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.