Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Өгөгдсөн илэрхийллийн хувьсагчийг багасгах арга хэрэглэх. Нэг хувьсагчийн илэрхийлэлд шилжүүлэх. Тэгшитгэлийг үржигдэхүүн болгон задал.

1. $(+\to *)$-ийн хувиргалт ашиглан үржвэр$\,=0$ хэлбэрт бичих.
2. Гурван давхар өнцгийн томъёог ашиглан $\cos x$, $\cos y$-ээр илэрхийлэх.
3. $\cos\theta=\cos\alpha$, $\sin \theta=\sin \alpha$-ийн шийдийг ашигла.

Бодолт: I арга. $\sin x=\sin y$-ээс $\sin x-\sin y=\cos\dfrac{x+y}{2}\cdot \sin \dfrac{x-y}{2}=0$, $0^{\circ}\leq \dfrac{x+y}{2}\leq 180^{\circ}$, $-90^{\circ}\leq \dfrac{x-y}{2}\leq 90^{\circ}\Rightarrow$ $\dfrac{x+y}{2}=90^\circ$ эсвэл $\dfrac{x-y}{2}=0^{\circ}$ $ \boldsymbol{\cdots}(1).$ $\cos x\ne \cos y\Rightarrow x\ne y$ $ \boldsymbol{\cdots}(2).$ $(1)$ ба $(2)$-аас $y=180^{\circ}-x$, $x\ne 90^{\circ} \boldsymbol{\cdots}(3)$ гэж гарна. $\cos 3x=\cos 3y$-д $(3)$-ийг орлуулбал $$\cos 3x=\cos 3(180^{\circ}-x)=\cos(180^\circ-3x)=-\cos 3x\Rightarrow\cos 3x=0.$$ $0^{\circ}\leq 3x\leq 3\cdot 180^{\circ}=540^{\circ}$ $\Rightarrow$ $3x=90^{\circ}$, $270^{\circ}$, $450^{\circ}.$ $(3)$-аас $x=30^{\circ}$, $x=150^{\circ}$ ба харгалзаx $y$-ийн утгууд нь $y=150^{\circ}$, $30^{\circ}$ $\Rightarrow$ $(x, y)=(30^{\circ},150^{\circ})$ эсвэл $(x, y)=(150^{\circ},30^{\circ})$.

II арга. $\cos 3x=\cos 3y$ тэнцэлээс $4\cos^3x-3\cos x=4\cos^3y-3\cos y$ буюу $\cos x(4\cos^2x-3)=\cos y(4\cos^2y-3)$ болно. $\cos^2x=1-\sin^2x$-ийг орлуулж $\sin x=\sin y$ болохыг тооцвол $(\cos x-\cos y)(1-4\sin^2x)=0$, $\cos x\ne \cos y$ $\Rightarrow$ $1-4\sin^2x=0$, $\sin x=\pm \dfrac 12.$

III арга. $0^{\circ}\leq x\leq 180^{\circ}$, $0^{\circ}\leq y\leq 180^{\circ}$, $\sin x=\sin y$ $\Rightarrow$ $x=y$, $y=180^{\circ}-x$ ба $\cos x\ne \cos y \Rightarrow y=180^{\circ}-x$. $\cos 3x=\cos 3y\Rightarrow 3y=\pm 3x+360^{\circ}\cdot n.$ Иймд $y=120^{\circ}\cdot n\pm x$, $180^{\circ}-x=120^{\circ}\cdot n\pm x$, $(x\ne y)\Rightarrow x=90^{\circ}-60^{\circ}\cdot n.$ $n=0,-1$ үед нөхцөл биелнэ.