Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Тойргийн тэгшитгэл (3)
$A(1,1)$ цэгийг дайрч, $y$ тэнхлэгийг шүргэх $y=2x$ шулуун дээр төвтэй тойргийн тэгшитгэл бич.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: I арга. Тойргийн төв нь $y=2x$ шулуун дээр орших учраас тойргийн төвийн координат нь $(t,2t)$ хэлбэртэй байна. Мөн $y$ тэнхлэгийг шүргэх тул тойргийн төвийн $x$ координат нь тойргийн радиустай тэнцүү. Иймд тойргийн тэгшитгэл нь:
$$(x-t)^2+(y-2t)^2=t^2 \boldsymbol{\cdots}(1)$$
болно. $A(1,1)$ цэг тойрог дээр орших тул координатыг нь (1)-д орлуулбал $$(1-t)^2+(1-2t)^2=t^2.$$
Үүнийг үржигдэхүүн болгон задалвал $(t-1)(2t-1)=0$ буюу $t=1$, $t=1/2$ болно. (1)-д
орлуулж тойргийн тэгшитгэлийг бичвэл:
$$(x-1)^2+(y-2)^2=1, \left(x-1/2\right)^2+(y-1)^2=1/4$$
тэгшитгэлүүд гарна.
II арга. Тойргийн төвийг $C$ гэвэл $C(t,2t)$. $C$ цэгээс $y$ тэнхлэгт татсан перпендикулярийн суурийг $H$ гэвэл $H(0,2t)$. $C$ тойргийн төв учраас $CA=CH$. $CH^2=t^2$, $CA^2=(1-t)^2+(1-2t)^2$ тул $t^2=(1-t)^2+(1-2t)^2$ буюу $t=1$, $t=1/2$. Иймд тойргийн тэгшитгэл нь $$(x-1)^2+(y-2)^2=1, \left(x-1/2\right)^2+(y-1)^2=1/4$$ болно.
II арга. Тойргийн төвийг $C$ гэвэл $C(t,2t)$. $C$ цэгээс $y$ тэнхлэгт татсан перпендикулярийн суурийг $H$ гэвэл $H(0,2t)$. $C$ тойргийн төв учраас $CA=CH$. $CH^2=t^2$, $CA^2=(1-t)^2+(1-2t)^2$ тул $t^2=(1-t)^2+(1-2t)^2$ буюу $t=1$, $t=1/2$. Иймд тойргийн тэгшитгэл нь $$(x-1)^2+(y-2)^2=1, \left(x-1/2\right)^2+(y-1)^2=1/4$$ болно.