Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$y=\sin \theta+\sqrt{3}\cos\theta$ функцийн графикийг зур.
$f(x)=6\sin^2 x+2\sqrt{3}\sin x\cdot \cos x+8\cos^2x$ функцийн минимум, максимумыг $(0^{\circ}\leq x\leq 180^{\circ})$ ол. Мөн максимум, минимум утгаа авах үеийн $x$-ийн утгыг ол.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

Бодолт:

$\cos \alpha=\dfrac 12$, $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}2$ $\Rightarrow$ $\alpha=60^{\circ}.$ $y=2\sin (\theta+60^{\circ})$, $y=2\cdot \sin \theta$-ийн графикийг зурахад $y=\sin \theta$-ийн графикийг ашигладаг ба $y=2\cdot \sin \theta$ графикийг $\theta$-тэнхлэгийг эерэг чиглэлд $60^{\circ}$-аар параллель зөөнө.
$\sin^2x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}, \cos^2x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}, 2\sin x\cdot \cos x=\sin 2x$ гэдгээс \begin{align*} f(x)&=3(1-\cos2x)+\sqrt{3}\sin 2x+4(1+\cos 2x)\\ &=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x+7=2\sin(2x+30^{\circ})+7 \end{align*} $2x+30^{\circ}=90^{\circ}\Rightarrow x=30^\circ$ үед $f_{\max}=9$, $2x+30^{\circ}=270^{\circ}\Rightarrow x=120^\circ$ үед $f_{\min}=5.$