Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$n$ эерэг бүхэл тоо бол $x^n$ -ийг $x^2+x+1$ -д хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

$x^2+x+1$ -ийн нэг язгуур нь

$\omega$ гэвэл

$\omega^3=1$ байна гэдгийг ашигла.

Бодолт:

$x^n=(x^2+x+1)\cdot Q(x)+ax+b$ гээд

$a$ ,

$b\in\mathbb R$ -г олъё.

$\omega^2+\omega+1=0$ гэвэл

$\omega^n=a\omega+b$ болно. Түүнчлэн

$\omega^3=1$ тул

$n=3R$ бол $\omega^n=\omega^{3R}=(\omega^3)^R=1=a\omega+b\Rightarrow a\omega=1-b$ $\omega$ комплекс тоо учир $a=0$ , $b=1$ буюу үлдэгдэл нь $ax+b=1$ болно.
$n=3R+1$ бол $\omega^n=\omega^{3R+1}=(\omega^3)^R\cdot\omega=\omega=a\omega+b$ буюу $(1-a)\omega=b$ тул $a=1, b=0$ буюу үлдэгдэл нь $ax+b=x$ болно.
$n=3R+2$ бол $\omega^n=\omega^{3R+2}=(\omega^3)^R\cdot\omega^2=-\omega-1\Rightarrow-\omega-1=a\omega+b$ $(a+1)\omega=-(b+1)$ буюу $a=-1$ , $b=-1$ . Иймд үлдэгдэл нь $ax+b=-x-1$ болно.