Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №10188
Дараах нийлбэрүүдийг ол.
- $\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)$
- $\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k-1}k^2$
- $\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}$
- $\sum\limits_{k=2}^n\dfrac{1}{k^2-1}$
- $\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{4k+1}{k(k+1)(4k^2-1)}$
- $\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{k-1}{k!}$
- $\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)\cdot3^{k-1}$
- $\sum\limits_{k=1}^nk^2\cdot x^{k-1}$
- $\sum\limits_{k=1}^nk\cdot\sin kx$
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: Дараах нийлбэрүүдийг ол.
- $\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)=1+3+5+\cdots+(2n-1)$;
- $\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k-1}k^2 = 1^2-2^2+3^2-\cdots +(-1)^{n-1}\cdot n^2 $;
- $\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}$;
- $\sum\limits_{k=2}^n\dfrac{1}{k^2-1}$;
- $\dfrac{1}{k(2k-1)}-\dfrac{1}{(k+1)(2k+1)}=\dfrac{2k^2+3k+1-2k^2+k}{k(k+1)(4k^2-1)}=\dfrac{4k+1}{k(k+1)(4k^2-1)}$
тул
$$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{4k+1}{k(k+1)(4k^2-1)}=1-\dfrac{1}{(n+1)(2n+1)}=\dfrac{n(2n+3)}{(n+1)(2n+1)}$$
- $\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{k-1}{k!}=\sum\limits_{k=1}^n\left(\dfrac{1}{(k-1)!}-\dfrac{1}{k!}\right)=\dfrac{1}{0!}-\dfrac{1}{n!}=1-\dfrac{1}{n!}$
- $b_n=n\cdot 3^n$ гэвэл $$b_{n}-b_{n-1}=n\cdot 3^n-(n-1)\cdot 3^{n-1}=(2n+1)\cdot 3^{n-1}$$ болохыг ашиглая. \begin{align*} \sum\limits_{k=1}^n(2k-1)\cdot3^{k-1}&=\sum\limits_{k=1}^n(2k+1)\cdot3^{k-1}-2\cdot\sum\limits_{k=1}^n 3^{k-1}\\ &=\sum\limits_{k=1}^n\left(k\cdot 3^k-(k-1)\cdot 3^{k-1}\right)-2\cdot\sum\limits_{k=1}^n 3^{k-1}\\ &=n\cdot 3^n-0\cdot 3^0-2\cdot \dfrac{3^n-1}{3-1}\\ &=(n-1)\cdot 3^n+1 \end{align*}
- $a_n=n^2$, $b_n=x^{n-1}$ гээд Абелийн хувиргалтын томьёо ашиглавал $B_k=\dfrac{x^k-1}{x-1}$ тул \begin{align} \sum\limits_{k=1}^{n} k^2\cdot x^{k-1}&=\sum\limits_{k=1}^{n-1}\big(k^2-(k+1)^2\big)\cdot \dfrac{x^k-1}{x-1}+n^2\cdot\dfrac{x^n-1}{x-1}\\ &=-\dfrac{1}{x-1}\sum\limits_{k=1}^{n-1} (2k+1)\cdot (x^k-1)+n^2\cdot\dfrac{x^n-1}{x-1}\\ &=-\dfrac{1}{x-1}\sum\limits_{k=1}^{n-1} (2k+1)\cdot x^k + \dfrac{1}{x-1}\sum\limits_{k=1}^{n-1} (2k+1)+n^2\cdot\dfrac{x^n-1}{x-1}\\ &=-\dfrac{1}{x-1}\sum\limits_{k=1}^{n-1} (2k+1)\cdot x^k + \dfrac{n^2-1}{x-1}+n^2\cdot\dfrac{x^n-1}{x-1}\\ &=-\dfrac{1}{x-1}\sum\limits_{k=1}^{n-1} (2k+1)\cdot x^k +\dfrac{n^2x^n-1}{x-1}\\ \end{align} болно. Одоо $a_n=2n+1$, $b_n=x^n$ гэвэл $a_k-a_{k+1}=-2$, $B_k=\dfrac{x(x^k-1)}{x-1}$ тул \begin{align} \sum\limits_{k=1}^{n-1} (2k+1)\cdot x^k &=\sum_{k=1}^{n-2}(-2)\cdot\dfrac{x(x^k-1)}{x-1}+(2n-1)\cdot\dfrac{x(x^{n-1}-1)}{x-1}\\ &=\dfrac{-2x}{x-1}\sum_{k=1}^{n-2}(x^k-1)+(2n-1)\cdot\dfrac{x(x^{n-1}-1)}{x-1}\\ &=\dfrac{-2x}{x-1}\Big(\Big(\sum_{k=1}^{n-2}x^k\Big)-n+2\Big)+(2n-1)\cdot\dfrac{x(x^{n-1}-1)}{x-1}\\ &=\dfrac{-2x}{x-1}\left(\dfrac{x(x^{n-2}-1)}{x-1}-n+2\right)+\dfrac{(2n-1)\cdot x(x^{n-1}-1)}{x-1}\\ &=\dfrac{(2n-1)x^{n+1}-(2n+1)x^n-x^2+3x}{(x-1)^2} \end{align} тул \begin{align*} \sum\limits_{k=1}^{n} k^2\cdot x^{k-1}&=-\dfrac{(2n-1)x^{n+1}-(2n+1)x^n-x^2+3x}{(x-1)^3}+\dfrac{n^2x^n-1}{x-1}\\ &=\dfrac{n^2x^{n+2}-(2n^2+2n-1)x^{n+1}+(n+1)^2x^n-x-1}{(x-1)^3} \end{align*} байна.
- $\sum\limits_{k=1}^nk\cdot\sin kx$.
Сорилго
daraala ba progress
Дараалал, хязгаар, уламжлал, зуны сургалт
Дараалал, хязгаар, уламжлал, зуны сургалт бодолт оруулах
Нийлбэр бодлого
15.1. Дараалал, нийлбэр
Дискрет мат, Семинар №07