Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №10192
Дарааллын ерөнхий гишүүнийг ол.
- $a_1=4, a_{n+1}=a_n+2n^2+n$
- $a_1=3, a_{n+1}=a_n+3^n$
- $a_1=5, a_{n+1}=a_n-2^n+n^2-3n+1$
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт:
- $a_{n+1}=a_n+2n^2+n $ томьёонд $1,\ldots, n-1$ утгыг орлуулж бичвэл
$$\begin{array}{llllllllllll}
a_{n}&=&a_{n-1}&+&2\cdot(n-1)^2&+&(n-1)\\
a_{n-1}&=&a_{n-2}&+&2\cdot(n-2)^2&+&(n-2)\\
a_{n-2}&=&a_{n-3}&+&2\cdot(n-3)^2&+&(n-3)\\
& \vdots & & & & &\\
a_2&=&a_1&+&2\cdot 1^2&+&1
\end{array}$$
болно. Эдгээрийг нэмээд хоёр талаас ижил нэмэгдэхүүнүүдийг устгавал
\begin{align*}
a_n & = a_1+2\cdot\big(1^2+2^2+\cdots+(n-1)^2\big)+(1+2+\cdots+n-1)\\
& =4+\dfrac{(n-1)n(2n-1)}{3}+\dfrac{(n-1)n}{2}\\
&=\dfrac{24}{6}+\dfrac{2(n-1)n(2n-1)}{6}+\dfrac{3(n-1)n}{6}\\
& =\dfrac{4 n^3 - 3 n^2 - n + 24}{6}
\end{align*}
- $a_{n+1}=a_n+3^n$ томьёонд $1,\ldots, n-1$ утгыг орлуулж бичвэл
\[\begin{array}{lllll}
a_{n}&=&a_{n-1}&+&3^{n-1}\\
a_{n-1}&=&a_{n-2}&+&3^{n-2}\\
a_{n-2}&=&a_{n-3}&+&3^{n-3}\\
&\vdots &\\
a_2&=&a_1&+&3^1
\end{array}\]
болно. Эдгээрийг нэмээд хоёр талаас ижил нэмэгдэхүүнүүдийг устгавал
\begin{align*}
a_n & = a_1+(3^1+3^2+\cdots+3^{n-1}\big)\\
& =3+\dfrac{3\cdot (3^{n-1}-1)}{3-1}=\dfrac{1}{2}(3^n+3)
\end{align*}
- $a_{n+1}=a_n-2^n+n^2-3n+1$ томьёонд $1,\ldots, n-1$ утгыг орлуулж бичвэл \[\begin{array}{lllllllllll} a_{n}&=&a_{n-1}&-&2^{n-1}&+&(n-1)^2&-&3(n-1)&+&1\\ a_{n-1}&=&a_{n-2}&-&2^{n-2}&+&(n-2)^2&-&3(n-2)&+&1\\ a_{n-2}&=&a_{n-3}&-&2^{n-3}&+&(n-3)^2&-&3(n-3)&+&1\\ &\vdots&\\ a_2&=&a_1&-&2^1&+&1^2&-&3\cdot 1&+&1 \end{array}\] болно. Эдгээрийг нэмээд хоёр талаас ижил нэмэгдхүүнүүдийг устгавал \begin{align*} a_n & = a_1-\sum_{k=1}^{n-1}2^k+\sum_{k=1}^{n-1}k^2-3\sum_{k=1}^{n-1}k+(n-1)\\ & =5-(2^n-2)+\dfrac{(n-1)n(2n-1)}{6}-3\cdot \dfrac{(n-1)n}{2}+n-1\\ &=7-2^n+\dfrac{1}{3}(n-1)(n^2-5n+3) \end{align*}
Сорилго
hw-81-2017-04-06
Рекуррент томьёо
Рекуррент дараалал. Бодлого
Семинар: Рекуррент дараалал
Дискрет мат, Семинар №07, гэрийн даалгавар
daraala ba progress
Дараалал, хязгаар, уламжлал, зуны сургалт
Дараалал, хязгаар, уламжлал, зуны сургалт бодолт оруулах
15.1. Дараалал, нийлбэр