Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №10239
Дараах функцүүдийн экстремум утгуудыг ол.
- $f(x)=\int\limits_{-3}^{x}(t^2-x)\, dt$
- $f(x)=\int\limits_{x}^{x+1}(t^2-5t+7)\,dt$
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт:
-
\begin{align*} f(x)&=\int\limits_{-3}^{x}(t^2-x)\,dt=\left(\dfrac{t^3}{3}-xt\right)\Bigg|_{-3}^x\\ &=\left(\dfrac{x^3}{3}-x^2\right)-\left(\dfrac{(-3)^3}{3}-x\cdot(-3)\right)\\ &=\dfrac{x^3}{3}-x^2-3x+9 \end{align*} тул $f'(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)=0\Rightarrow x=-1$ цэгт максимум утгатай, $x=3$ цэгт минимум утгатай. $$\max f(x)=f(-1)=\dfrac{(-1)^3}{3}-(-1)^2-3\cdot(-1)+9=10\dfrac23$$ $$\min f(x)=f(3)=\dfrac{3^3}{3}-3^2-3\cdot 3+9=0$$ - $f(x)=\int\limits_{x}^{x+1}(t^2-5t+7)\,dt\Rightarrow$ \[ f'(x)=((x+1)^2-5(x+1)+7)-(x^2-5x+7)=2x-4 \] тул $x=2$ цэгт минимум $f(2)=\displaystyle\int_2^3 (t^2-5t+7)\,dt=\dfrac{5}{6}$ минимум утгатай.