Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Дараах муруй болон шулуунаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

$\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$ томьёог ашигла.

Бодолт:

$y=-x^2+2x+3$ , $x$ тэнхлэгийн огтлолцох цэгүүд нь $x_1=-1$ , $x_2=3$ тул $S=\int_{-1}^3(-x^2+2x+3)\,dx=\dfrac{(3-(-1))^3}{6}=\dfrac{32}{3}$
$y=2x^2+3x-2$ , $x$ тэнхлэгийн огтлолцох цэгүүд нь $x_1=-2$ , $x_2=\dfrac12$ тул $S=\int_{-2}^{\frac12}(2x^2+3x-2)\,dx=\dfrac{2\big(\frac12-(-2)\big)^3}{6}=\dfrac{125}{24}$
$y=x^2-x-1$ , $x$ тэнхлэгийн огтлолцох цэгүүд $x_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ , $x_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ тул $\int_{x_1}^{x_2}(x^2-x-1)\, dx=\dfrac{(x_2-x_1)^3}{6}=\dfrac{5\sqrt{5}}{6}$
$y=2x^2-3x+1$ , $y=2x-1$ -ийн огтлолцох цэгүүд нь $2x^2-3x+1=2x-1\Rightarrow 2x^2-5x+2=0$ тул $x_1=\dfrac{1}{2}$ , $x_2=2$ . Иймд $S=\int_{\frac12}^22(x-\tfrac12)(x-2)\,dx=\dfrac{2(2-\tfrac12)^3}{6}=\dfrac{9}{8}$