Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Дараах муруй болон шулуунаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар: \[ \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \] томьёог ашигла.

Бодолт:

$y=-x^2+2x+3$, $x$ тэнхлэгийн огтлолцох цэгүүд нь $x_1=-1$, $x_2=3$ тул $$S=\int_{-1}^3(-x^2+2x+3)\,dx=\dfrac{(3-(-1))^3}{6}=\dfrac{32}{3}$$
$y=2x^2+3x-2$, $x$ тэнхлэгийн огтлолцох цэгүүд нь $x_1=-2$, $x_2=\dfrac12$ тул $$S=\int_{-2}^{\frac12}(2x^2+3x-2)\,dx=\dfrac{2\big(\frac12-(-2)\big)^3}{6}=\dfrac{125}{24}$$
$y=x^2-x-1$, $x$ тэнхлэгийн огтлолцох цэгүүд $x_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$, $x_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ тул $$\int_{x_1}^{x_2}(x^2-x-1)\, dx=\dfrac{(x_2-x_1)^3}{6}=\dfrac{5\sqrt{5}}{6}$$
$y=2x^2-3x+1$, $y=2x-1$-ийн огтлолцох цэгүүд нь $2x^2-3x+1=2x-1\Rightarrow 2x^2-5x+2=0$ тул $x_1=\dfrac{1}{2}$, $x_2=2$. Иймд $$S=\int_{\frac12}^22(x-\tfrac12)(x-2)\,dx=\dfrac{2(2-\tfrac12)^3}{6}=\dfrac{9}{8}$$