Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Дараах интегралуудыг бод.

$\mathop{\int\limits_{1}^{1}}(-2x^2+5x-2)\,dx$
$2\mathop{\int\limits_{1}^{3}}x^2\,dx+3\mathop{\int\limits_{1}^{3}}x^2\,dx$
$\mathop{\int\limits_{-2}^{3}}(2x^2-1)\,dx-\mathop{\int\limits_{-2}^{3}}(x^2+x-5)\,dx$
$\mathop{\int\limits_{1}^{4}}|x^2-2x-3|\,dx$
$\mathop{\int\limits_{-3}^{2}}(x^2+3)\,dx+\mathop{\int\limits_{2}^{3}}(x^2+3)\,dx$

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

Бодолт:

$\int_{1}^{1}(-2x^2+5x-2)\,dx=0$
$2\int_{1}^{3}x^2\,dx+3\int_{1}^{3}x^2\,dx=5\int_{1}^{3}x^2\,dx=\left.\dfrac{5x^3}{3}\right|_1^3=\dfrac{5\cdot 3^3}{3}-\dfrac{5\cdot 1^3}{3}=\dfrac{130}{3}$
$\begin{align*} \int_{-2}^{3}(2x^2-1)\,dx&-\int_{-2}^{3}(x^2+x-5)\,dx=\int_{-2}^3(x^2-x+4)\,dx=\left.\left(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+4x\right)\right|_{-2}^3dx\\ &=\left(\dfrac{3^3}{3}-\dfrac{3^2}{2}+4\cdot 3\right)-\left(\dfrac{(-2)^3}{3}-\dfrac{(-2)^2}{2}+4\cdot(-2)\right)=\dfrac{175}{6} \end{align*}$
$\begin{align*} \int_{1}^{4}|x^2-2x-3|\,dx&=\int_1^3|x^2-2x-3|\,dx+\int_3^4|x^2-2x-3|\,dx\\ &=-\int_1^3(x^2-2x-3)\,dx+\int_3^4(x^2-2x-3)\,dx\\ &=-\left.\left(\dfrac{x^3}{3}-x^2-3x\right)\right|_1^3+\left.\left(\dfrac{x^3}{3}-x^2-3x\right)\right|_3^4\\ &=\Big(\dfrac{4^3}{3}-4^2-3\cdot 4\Big)-2\cdot\Big(\dfrac{3^3}{3}-3^2-3\cdot 3\Big)+\Big(\dfrac{1^3}{3}-1^2-3\cdot 1\Big)\\ &=\dfrac{23}{3} \end{align*}$
$\begin{align*} \int_{-3}^{2}(x^2+3)\,dx+\int_{2}^{3}(x^2+3)\,dx&=\int_{-3}^{3}(x^2+3)\,dx=2\int_0^3(x^2+3)\,dx\\ &=2\left.\left(\dfrac{x^3}{3}+3x\right)\right|_0^3=2\left(\dfrac{3^3}{3}+3\cdot 3\right)=36 \end{align*}$