Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Цэгээс шулууны цэгүүд хүртэлх зайнуудаас хамгийн бага нь уг цэгээс шулуунд буулгасан перпендикулярын суурь хүртэлх зай байдаг. Үүнийг цэгээс шулуун хүртэлх зайн томъёогоор олж болно.

Бодолт: $P(a,b)$ гэвэл $b=a^2+1$ байна. $P$ цэгээс шулуун хүртэлх зай нь $$d(a)=\dfrac{|a+a^2+2|}{\sqrt{2}}=\dfrac{a^2+a+2}{\sqrt 2}$$ байна. $d(a)$ хамгийн бага байх $P$ цэгээс өгөгдсөн шулуунд татсан перпендикулярын суурь нь $Q$ цэг байна. Иймд $d^\prime(a)=\dfrac{2a+1}{\sqrt2}=0$ буюу $a=-1/2$ үед $$\min=d(a)=\dfrac{(1/2)^2+1/2+2}{\sqrt 2}=\dfrac{7\sqrt2}{8}.$$