Монгол Бодлогын Сан

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Дараах утгыг ол.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

$75^\circ=45^\circ+30^\circ$ ,

$15^\circ=45^\circ-30^\circ$ ,

$165^\circ=120^\circ+45^\circ$

Бодолт:

$\begin{align*} \cos75^\circ&=\cos(45^\circ+30^\circ)\\ &=\cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circ\\ &=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\ \tg75^\circ&=\tg(45^\circ+30^\circ)=\dfrac{\tg45^\circ+\tg30^\circ}{1-\tg 45^\circ\cdot\tg 30^\circ}\\ &=\dfrac{1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1-1\cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}}=\dfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}=2+\sqrt{3} \end{align*}$
$\begin{align*} \cos15^\circ&=\cos(45^\circ-30^\circ)\\ &=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ\\ &=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\ \tg15^\circ&=\tg(45^\circ-30^\circ)=\dfrac{\tg45^\circ-\tg30^\circ}{1+\tg 45^\circ\cdot\tg 30^\circ}\\ &=\dfrac{1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1+1\cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}}=\dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}=2-\sqrt{3} \end{align*}$
$\begin{align*} \cos165^\circ&=\cos(120^\circ+45^\circ)\\ &=\cos120^\circ\cos45^\circ-\sin120^\circ\sin45^\circ\\ &=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\ \tg165^\circ&=\tg(120^\circ+45^\circ)=\dfrac{\tg120^\circ+\tg45^\circ}{1-\tg 120^\circ\cdot\tg 45^\circ}\\ &=\dfrac{-\sqrt3+1}{1-(-\sqrt3)\cdot 1}=\dfrac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3}=\sqrt{3}-2 \end{align*}$