Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №10578
sinθ=s, cosθ=c, tgθ=t гэвэл
- cos4θ, cos5θ-ийг c-ээр илэрхийл.
- sin5θ-ийг s-ээр илэрхийл.
- tg3θ, tg4θ-ийг t-ээр илэрхийл.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Муаврын томьёо ашигла.
Бодолт:
- Муаврын томьёогоор cos4θ+isin4θ=(cosθ+isinθ)4=cos4θ+C14cos3θ(isinθ)+C24cos2θ(isinθ)2+C34cosθ(isinθ)3+(isinθ)4=cos4θ+iC14cos3θsinθ−C24cos2θsin2θ−iC34cosθsin3θ+sin4θ=(cos4θ−C24cos2θsin2θ+sin4θ)+(C14cos3θsinθ−C34cosθsin3θ)i тул комплекс тоонуудын тэнцэх нөхцөлөөр cos4θ=cos4θ−C24cos2θsin2θ+sin4θ=cos4θ−C24cos2θ(1−cos2)+(1−cos2θ)2=8cos4θ−8cos2θ+1=8c2−8c+1 болно. Яг адилаар cos5θ+isin5θ=(cosθ+isinθ)5=cos5θ+C15cos4θ(isinθ)+C25cos3θ(isinθ)2+⋯+(isinθ)5=cos5θ+iC15cos4θsinθ−C25cos3θsin2θ−iC35cos2θsin3θ+C45cosθsin4θ+isin5θ=(cos5θ−C25cos3θsin2θ+C45cosθsin4θ)+(C15cos4θsinθ−C35cos2θsin3θ+sin5θ)i ба cos5θ=cos5θ−C25cos3θsin2θ+C45cosθsin4θ=cos5θ−C25cos3θ(1−cos2)+C45cosθ(1−cos2θ)2=16cos5θ−20cos3θ+5cosθ=16c5−20c3+5c
- Өмнөх хэсгээс \begin{align*} \sin5\theta&=C_5^1\cos^4\theta\sin\theta-C_5^3\cos^2\theta\sin^3\theta+\sin^5\theta\\ &=5(1–s^2)^2s-10(1-s^2)s^3+s^5\\ &=16s^5-20s^3+5s \end{align*}
- Муаврын томьёогоор \begin{align*} \cos3\theta+i\sin3\theta&=(\cos\theta+i\sin\theta)^3\\ &=\cos^3\theta+C_3^1\cos^2\theta(i\sin\theta)+C_3^2\cos\theta(i\sin\theta)^2+(i\sin\theta)^3\\ &=\cos^3\theta+iC_3^1\cos^2\theta\sin\theta-C_3^2\cos\theta\sin^2\theta-i\sin^3\theta\\ &=(\cos^3\theta-C_3^2\cos\theta\sin^2\theta)+(C_3^1\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta)i \end{align*} тул \tg3\theta=\dfrac{\sin3\theta}{\cos3\theta}=\dfrac{3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta}{\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta}=\dfrac{3t-t^3}{1-3t^2} байна. Төстэйгөөр \tg4\theta=\dfrac{\sin4\theta}{\cos4\theta}=\dfrac{4\cos^3\theta\sin\theta-4\cos\theta\sin^3\theta}{\cos^4\theta-6\cos^2\theta\sin^2\theta+\sin^4\theta}=\dfrac{4t-4t^3}{1-6t^2+t^4}