Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$\log_{10}2=0.3010$ , $\log_{10}3=0.4771$ , $\log_{10}7=0.8450$ байхыг ашиглан дараах бодлогуудыг бод.

$3000< \left(\dfrac54\right)^n< 6000$ нөхцлийг хангах $n$ -ын бүхэл утгуудыг ол.
$7^{53}$ тоо хэдэн оронтой вэ? Энэ тооны эхний цифрийг ол.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

Бодолт:

$3000< \left(\dfrac54\right)^n< 6000$ тэнцэтгэл бишийг логарифмчилбал $\lg 3000 < n \lg\dfrac54 <\lg 6000$ буюу $3+\lg 3 < n (\lg 5-\lg 4) <3+ \lg 6\Leftrightarrow \lg a \le 0.785 < \lg(a+1)$ болно. $\lg 5-\lg 4=(1-\lg 2)-2\lg 2=1-3\lg 2=1-3\cdot 0.301=0.097$ ба $\lg 6=\lg2+\lg3=0.3010+0.4771=0.7781$ тул $3.4771 < 0.097n <3.7781\Rightarrow \dfrac{3.4771}{0.097} < n < \dfrac{3.7781}{0.097}$ буюу $35.84 < n < 38.95$ тул $n =36, 37, 38$ тоонуудын байж болно.
$A=7^{53}$ гэвэл $\lg A=53\cdot\lg 7=53\cdot 0.8450=44.785$ эндээс $10^{44} \le A < 10^{45}$ тул $A$ тоо 45 оронтой. Эхний цифрийг $a$ гэвэл $a\cdot 10^{44} \le A < (a+1)\cdot 10^{44}$ болох ба логарифмчилаад $44$ -ийн хасвал $\lg a \le 0.785 < \log(a+1)$ байна. $\lg 6=0.7781$ , $\lg 7=0.8450$ тул $a=6$ .

Мөн $y=10^x$ функцийн $[0,1]$ завсар дахь утгын хүснэгт ашиглан $A=10^{\lg A}=10^{0.785}\cdot 10^{44}=6.09537\cdot 10^{44}$ гээд $A$ тооны эхний цифрүүдийг ( $60953\ldots$ ) олж болно.