Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$x^3-3p^2x+8p=0$ тэгшитгэл гурван шийдтэй байх бүх $p$ -ийн утгыг ол.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

$f(x)=0$ тэгшитгэл гурван шийдтэй бол

$y=f(x)$ -функцийн график

$x$ тэнхлэгийг гурван удаа огтлоно. Хэрэв

$f(x)$ нь куб олон гишүүнт бол

$f(x)=0$ тэгшитгэл гурван шийдтэй байхын тулд максимум ба минимум утгынх нь үржвэр сөрөг байна.

Бодолт:

$f(x)=x^3-3p^2x+8p$ гэвэл

$f^\prime (x)=3(x+p)(x-p)$ болно.

$p\ne 0$ үед

% after
: or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ... $x$	$\boldsymbol{\ldots}$	$-p$	$\boldsymbol{\ldots}$	$p$	$\boldsymbol{\ldots}$
$f^\prime (x)$	$+$	0	$-$	0	$+$
$f (x)$	$\nearrow$	$\max$	$\searrow$	$\min$	$\nearrow$

$f(x)=0$ тэгшитгэл гурван шийдтэй байхын тулд

$f(-p)\cdot f(p)< 0$ байх ёстой.

$f(-p)=2p(p^2+4), f(p)=2p(4-p^2)$ тул

$f(-p)\cdot f(p)=4p^2(16-p^4)< 0\Rightarrow p^2>4$ буюу

$p< -2$ эсвэл

$2< p$ байна.