Монгол Бодлогын Сан

Заавар:

Бодолт: $x>0$, $y>0$, $x^2+y^2=1$ тул $x=\cos\theta$, $y=\sin\theta$, $(0< \theta< 90^{\circ})$ байх $\theta$ өнцөг олдоно. $t=x+y=\cos\theta+\sin\theta=\sqrt{2}\sin(\theta+45^{\circ})$ гэвэл $1\leq t\leq \sqrt{2}$ байна. $t^2=(x+y)^2=1+2xy$ тул $xy=\dfrac{t^2-1}{t}$ тул $$\begin{aligned} P=x^5+y^5&=(x^3+y^3)(x^2+y^2)-x^2y^2(x+y)=(x+y)(1+xy-x^2y^2)\\ &=t\cdot\left(1+\dfrac{t^2-1}{2}-\dfrac{(t^2-1)^2}{4}\right)=\dfrac t4(1-t^4) \end{aligned}$$ болно. $Q(t)=\dfrac t4(1-t^4)$ гэвэл $\dfrac t4(1-t^4)=\dfrac t4(1-t^2)(1+t^2)< 0$ тул $Q(t)$ буурдаг функц байна. Иймд $Q(\sqrt{2})\leq Q(t)< Q(1)$ тул $\dfrac{\sqrt{2}}{4}\leq x^5+y^5< 1$ юм.