Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
$\int_{a}^{b}g(x,t)\,\mathrm{d}t$ функцийн хамгийн их ба хамгийн бага
$0\leq t\leq 1$ үед $F(t)=\mathop{\int\limits_{0}^{1}}|x^2-t^2|\,\mathrm{d}x$ функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: $|x^2-t^2|=\left\{\begin{array}{rl}
-(x^2-t^2), & 0\leq x\leq t\\
x^2-t^2, & t\leq x\leq 1
\end{array}\right.$
тул
$$F(t)=\mathop{\int\limits_{0}^{1}}|x^2-t^2|\,\mathrm{d}t=\mathop{\int\limits_{0}^{t}}-(x^2-t^2)+\mathop{\int\limits_{t}^{1}}(x^2-t^2)\,\mathrm{d}t=\dfrac43t^3-t^2+\dfrac13$$
болно.
$F^\prime(t)=4t^2-2t=2t(t-1)$ юм.
тул $t=1$ үед хамгийн их утга $2/3, t=1/2$ үед хамгийн бага утга $1/4$ авна.
| $t=0$ | $\boldsymbol{\cdots}$ | $t=1/2$ | $\boldsymbol{\cdots}$ | $t=1$ | |
| $F^\prime(t)$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $F (t)$ | $1/3$ | $\searrow$ | $1/4$ | $\nearrow$ | $2/3$ |
Сорилго
Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.