Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Тодорхой интеграл ба тэнцэтгэл биш
Дараах тэнцэтгэл бишийг батал. $$\Big|\mathop{\int\limits_{0}^{1}}(ax+b)(px+q)\,\mathrm{d}x\Big|^2 \leq \mathop{\int\limits_{0}^{1}}(ax+b)^2\,\mathrm{d}x \mathop{\int\limits_{0}^{1}}(px+q)^2\,\mathrm{d}x$$
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: Тэнцэтгэл бишийг $B^2\leq A\cdot C$ хэлбэрт бичье.
$$\begin{aligned}
B^2&=\Big(\mathop{\int\limits_{0}^{1}}(apx^2+(bp+aq)x+bq)\,\mathrm{d}x\Big)^2=\\
&=\left(\dfrac{ap}{3}+\dfrac{bp+aq}{2}+bq\right)^2=\left(\left(\dfrac p3+\dfrac q2\right)a+\left(\dfrac p2+q\right)b\right)^2\\
&=\left(\dfrac p3+\dfrac q2\right)^2a^2+2ab \left(\dfrac p3+\dfrac q2\right)\left(\dfrac p2+q\right)+\left(\dfrac p2+q^2\right)b^2\nonumber
\end{aligned}$$
болно.
$$A=\mathop{\int\limits_{0}^{1}}(ax^2+2ab+b^2)\,\mathrm{d}x=\dfrac{a}{3}+ab+b^2$$
ба $$A\cdot C=\left(\dfrac a3+ab+b^2\right)\left(\dfrac p3+pq+q^2\right)$$
тул $AC-B^2=\dfrac{1}{12}a^2q^2-\dfrac16abpq+\dfrac{1}{12}b^2p^2=\dfrac{1}{12}(aq-bp)^2\geq 0$ гэдгээс $AC\geq B^2$ болж батлагдав.
ба $$A\cdot C=\left(\dfrac a3+ab+b^2\right)\left(\dfrac p3+pq+q^2\right)$$
тул $AC-B^2=\dfrac{1}{12}a^2q^2-\dfrac16abpq+\dfrac{1}{12}b^2p^2=\dfrac{1}{12}(aq-bp)^2\geq 0$ гэдгээс $AC\geq B^2$ болж батлагдав.
Сорилго
Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.