Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $\mathop{\int\limits_{0}^{c}}f_{n-1}(t)\,\mathrm{d}t$ нь $x$-ээс үл хамаарах тогтмол тоо байна.

Бодолт: $\mathop{\int\limits_{0}^{c}}f_{n-1}(t)\,\mathrm{d}t$ тогтмол тоо учир $a_n=\mathop{\int\limits_{0}^{c}}f_{n-1}(t)\,\mathrm{d}t$ гэвэл: $$\begin{aligned} a_{n+1}&=\textstyle\mathop{\int\limits_{0}^{c}}f_n(t)\,\mathrm{d}t=\mathop{\int\limits_{0}^{c}}(f_0(t)+a_n)\,\mathrm{d}t=\mathop{\int\limits_{0}^{c}}(-2t+1+a_n)\,\mathrm{d}t\\ &=(-t^2+t+a_nt)\Big|_0^c=a_n\cdot c+c-c^2 \end{aligned}$$ болно. $a_{n+1}-c=c(a_n-c)=c^2(a_{n-1}-c)=\ldots=c^n\cdot (a_1-c), a_1-c=\mathop{\int\limits_{0}^{c}}f_0(t)\,\mathrm{d}t-c=-c^2$ учир $a_n=-c^{n+1}+c$ болно. Иймд $f_n(x)=-2x+1-c^{n+1}+c.$