Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
$\int_{x}^{x+a}g(t)dt$ функц
$g(x)=\int\limits_{x}^{x+1}|t(t-3)|dt (0\leq x\leq 3)$ функцийн хамгийн их ба бага утгыг ол. Тэр үеийн $x$-ийг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: $$|t(t-3)|=\left\{\begin{array}{clr}
-t(t-3), & 0\leq x\leq 3\\
t(t-3), & \text{бусад үед}
\end{array}\right.$$
$0\leq x\leq 2$ үед $1\leq x+1\leq 3$ тул $g(x)=-\int\limits_{x}^{x+1}t(t-3)dt=-x^2+2x+\dfrac76=-(x-1)^2+\dfrac{13}{6}$ болно. $2< x\leq 3$ үед $3< x+1\leq 4$ тул $ g(x)=-\int\limits_{x}^{3} t(t-3)\,\textrm{d}t+\int\limits_{3}^{x+1}t(t-3)\,\textrm{d}t=\dfrac23x^3-2x^2-2x+\dfrac{47}{6}$ болно. $g'(x)=\left\{\begin{array}{clr} -2(x-1), & 0\leq x\leq 2\\ 2x^2-4x-2, & 2\leq x\leq 3 \end{array}\right.$ учир
байна. $x=1$ үед $\dfrac{13}{6}$ гэсэн хамгийн их утгатай.
$0\leq x\leq 2$ үед $1\leq x+1\leq 3$ тул $g(x)=-\int\limits_{x}^{x+1}t(t-3)dt=-x^2+2x+\dfrac76=-(x-1)^2+\dfrac{13}{6}$ болно. $2< x\leq 3$ үед $3< x+1\leq 4$ тул $ g(x)=-\int\limits_{x}^{3} t(t-3)\,\textrm{d}t+\int\limits_{3}^{x+1}t(t-3)\,\textrm{d}t=\dfrac23x^3-2x^2-2x+\dfrac{47}{6}$ болно. $g'(x)=\left\{\begin{array}{clr} -2(x-1), & 0\leq x\leq 2\\ 2x^2-4x-2, & 2\leq x\leq 3 \end{array}\right.$ учир
| $x$ | 0 | $\boldsymbol{\cdots}$ | $1$ | $\boldsymbol{\cdots}$ | $2$ | $\boldsymbol{\cdots}$ | $1+\sqrt{2}$ | $\boldsymbol{\cdots}$ | 3 |
| $g'(x)$ | $t$ | $0$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | |||
| $g(x)$ | $\nearrow$ | $13/6$ | $\searrow$ | $\searrow$ | $\min$ | $\nearrow$ | $11/6$ |
Сорилго
Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.