Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $D$ дүрсийн талбайг $S$, хуваагдсан хэсгүүдийн талбайг $S_1$, $S_2$ гэвэл бодлогын нөхцлийг

1. $S_1=S_2$
2. $2S_1=S$
3. $2S_2=S$

гэж илэрхийлж болно. Эдгээр нөхцлүүдээс алийг нь илэрхийлэхэд хялбар вэ?

Бодолт: $(-1, 1), (2, 4)$ цэгүүдийг дайрсан шулууны тэгшитгэл $$\dfrac{x-(-1)}{2-(-1)}=\dfrac{y-1}{4-1}\Leftrightarrow y=x+2,$$ $D$ мужийн талбайг $S$ гэвэл $$S=\int\limits_{-1}^{2}(x+2-x^2)\,\mathrm{d}x=-\int\limits_{-1}^{2}(x+1)(x-2)\,\mathrm{d}x=\dfrac16(2+1)^3=\dfrac92.$$ Бидний олох шулуун параболын оройн цэг $(0,0)$-ийг дайрах тул $y=mx$ тэгшитгэлтэй байна. $y=mx, y=x+2$ шулуунуудын огтолцолын цэгийг $A$ гэвэл координат нь: $\left(\dfrac{2}{m-1}, \dfrac{2m}{m-1}\right)$ байна. $m\geq 2$ үед $A$ цэг параболын дотоод мужид байх тул $$S_1=\int\limits_{-1}^{0}(x+2-x^2)\,\mathrm{d}x+\dfrac12\cdot 2\cdot \dfrac{2}{m-1}= \dfrac12\cdot \dfrac92$$ болно. Иймд $\dfrac76+\dfrac{2}{m-1}=\dfrac94\Rightarrow m=\dfrac{37}{13}$ буюу талбайг 2 тэнцүү хуваах шулуун нь $y=\dfrac{37}{13}x$ байна.