Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Талбайг тэнцүүлэх
$l\colon y=m(x-2)+5, C\colon y=x^2$ байг. $l$ ба $C$-ээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг $S$, $(2, 5)$ цэгийг дайрсан $l$-д перпендикуляр шулууныг $l_1$ гэе. $l_1$ ба $C$-ээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг $S_2$ гэе. $S_1=S_2$ байх $m$-ийн бүх утгуудыг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: $l$ ба $C$-ийн огтлолцолын цэгүүдийн абсциссуудыг $\alpha, \beta (\alpha< \beta)$ гэе.
$$x^2-mx+2m-5=0 \boldsymbol{\cdots}(1)$$
$D=(-m)^2-4(2m-5)=m^2-8m+20=(m-4)^2+4$ тул
$$\beta-\alpha=\dfrac{m+\sqrt{(m-4)^2+4}}{2}-\dfrac{m-\sqrt{(m-4)^2+4}}{2}=\sqrt{(m-4)^2+4}$$
болно. Иймд
$$\begin{aligned}
S_1&=\mathop{\int\limits_{\alpha}^{\beta}}(m(x-2)+5-x^2)\,\mathrm{d}x=-
\mathop{\int\limits_{\alpha}^{\beta}}(x-\alpha)(x-\beta)\,\mathrm{d}x\\
& =\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}=\dfrac{(\sqrt{(m-4)^2+4})^3}{6}
\end{aligned}$$
$l_1\colon y=-1/m\cdot(x-2)+5$ тул дээрхтэй ижлээр
$S_2=\dfrac{(\sqrt{(-1/m-4)^2+4})^3}{6}$ болно. $S_1=S_2$ тэгшитгэл нь
$(m-4)^2=(-1/m-4)^2$ гэдгээс
$$(m-4-1/m-4)(m-4+\dfrac{1}{m}+4)=\dfrac{m^2-8m-1}{m}\cdot\dfrac{m^2+1}{m}=0$$ тэгшитгэлд шилжинэ. Иймд $m=4\pm \sqrt{17}$ болно.
Сорилго
Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.