Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $C$ муруйн $x=p$ цэг дээрх шүргэгч $y=mx+n$ байх $\Longleftrightarrow$ $(x^3-6x^2+9x)-(mx+n)=(x-p)^2(x-q)$ байдаг.

Бодолт: $C\colon y=x^3-6x^2+9x, y'=3x^2-12x-9=3(x-1)(x-3)$ тул $$\begin{aligned}l: y&=(3p^2-12p+9)(x-p)+p^3-6p^2-9p\\ &=(3p^2-12p+9)x-2p^3+6p^2 \end{aligned}$$ болно. $C$ ба $l$-ийн $P$-ээс өөр ерөнхий цэгийн $x$ координатыг $r$ гэвэл: $$r^3-6r^2+9r=(3p^2-12p+9)x-2p^3+6p^2$$ ба $r^3-6r^2-(3p^2-12p)r+p^2(2p-6)=0\Rightarrow(r-p)^2(r-2p-6)=0$ болно. $r\neq p$ учир $r=6-2p$ болох ба $p< 2$ тул $r>p$ байна. $S=\mathop{\int\limits_{p}^{r}}(-(x-p)^2(x+2p-6))\,\textrm{d}x=\mathop{\int\limits_{p}^{r}}(-(x-p)^2((x-p)+(3p-6)))\,\textrm{d}x=\left.\left[-\dfrac14(x-p)^2+\dfrac{(3p-6)}{3}(x-p)^3\right]\right|_{p}^{r}=-\dfrac{81}{4}(2-p)^4+27(2-p)^4=\dfrac{27}{4}(2-p)^4$