Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Эргэлтийн биеийн эзлэхүүн
$y=x^2, y=2a^2-x^2 (a>0)$ параболуудын огтлолд үүсэх дүрсийн хувьд (1) $x$ тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүн $\upsilon_1$ ба $y$ тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүн $\upsilon_2$-ийг ол. (2) $\upsilon_1=\upsilon_2$ бол $a$-г ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: 2 параболын огтлолын цэгүүдийг олъё:
$x^2=2a^2-x^2 \Rightarrow x=\pm a, y=a^2$ $\upsilon_1=2\pi\mathop{\int\limits_{0}^{a}}(2a^2-x^2)^2\,\textrm{d}x-2\pi
\mathop{\int\limits_{0}^{a}}(x^2)^2\,\textrm{d}x=2\pi
\mathop{\int\limits_{0}^{a}}(4a^4-4a^2x^2)\,\textrm{d}x= \left.2\pi
\left[4a^4x-\dfrac{4a^2x^3}{3}\right]\right|_{0}^{a}=\dfrac{16}{3}\pi
a^5$
$\upsilon_2=\pi\mathop{\int\limits_{0}^{a^2}}y\,\textrm{d}y+\pi\mathop{\int\limits_{a^2}^{2a^2}}(2a^2-y)\,\textrm{d}y=\left.
\pi\left[\dfrac{y^2}{2}\right]\right|_{0}^{a^2}+\left.\pi
\left[2a^2y-\dfrac{y^2}{2}\right]\right|_{a^2}^{2a^2}=\dfrac{\pi
a^4}{2}+\pi\dfrac{a^4}{2}=\pi a^4.$ $\upsilon_1=\upsilon_2, a>0$ тул
$a=\dfrac{3}{16}$ байна.