Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Координатын хавтгай дээр $\vec{\mathstrut{a}}=(4,-3)$, $\vec{\mathstrut{b}}=(2, 1)$ векторууд өгөгдөв. Хэрэв $\vec{\mathstrut{a}}+t\vec{\mathstrut{b}}$ ба $\vec{\mathstrut{b}}$ векторуудын хоорондох өнцөг $45^{\circ}$ бол $t$-ийн утгыг ол.
Хавтгайд $0$, $A$, $B$, $C$ дөрвөн цэг өгөгдөв. Хэрэв $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$, $OA=2$, $OB=1$, $OC=\sqrt{2}$ үед $\triangle OAB$-ийн талбайг ол.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

Бодолт:

$\vec{\mathstrut{a}}+t\vec{\mathstrut{b}}=(4,-3)+(2t, t)=(4+2t, t-3)$, $\vec{\mathstrut{b}}=(2, 1).$\\ Скаляр үржвэрийг хоёр янзаар бичиж тэнцүүлбэл $$(4+2t)\cdot 2+(t-3)\cdot 1=\sqrt{(4+2t)^2+(t-3)^2}\cdot \sqrt{2^2+1^2}\cos 45^{\circ} \Rightarrow$$ болох ба тэгшитгэлийг бодож $t$-г олбол $t=1$, $t=-3$ болно. Хоёр векторийн хоорондох өнцөг $45^{\circ}$ гэдгээс скаляр үржвэр эерэг байна. Иймд $t=1$ нь шийд болно.
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$ $\Rightarrow$ $|\overrightarrow{OC}|^2=|-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|^2$ болно. Мөн $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OC}$-ийн хоорондох өнцгийг $\theta, (0^{\circ}\leq \theta\leq 180^{\circ})$ гэвэл $2=4+2\cdot 2\cdot 1\cdot \cos\theta+1$ $\Rightarrow$ $\cos\theta=-\dfrac 34.$ Түүнчилэн $(0^{\circ}\leq \theta\leq 180^{\circ})$ тул $\sin \theta\geq 0$ $\Rightarrow$ $\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}.$ Иймд $S_{OAB}=\dfrac{OA\cdot OB\cdot \sin\theta}{2}=\dfrac{2\cdot 1\cdot \dfrac{\sqrt{7}}{4}}{2}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$ боллоо.

Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.