Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Векторын уртын хамгийн их, бага утга
Хавтгайн $\vec{\mathstrut{a}}$, $\vec{\mathstrut{b}}$ векторын хувьд $|\vec{\mathstrut{a}}+3\vec{\mathstrut{b}}|=1$, $|3\vec{\mathstrut{a}}-\vec{\mathstrut{b}}|=1$-ыг хангах үед $|\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}|$-ын хамгийн их утга $M$ ба хамгийн бага утга $m$-ийг тус тус ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: $\left\{\begin{array}{ll}
\vec{\mathstrut{a}}+3\vec{\mathstrut{b}}=\vec{\mathstrut{p}} & \boldsymbol{\cdots}(1)\\
3\vec{\mathstrut{a}}-\vec{\mathstrut{b}}=\vec{\mathstrut{q}} & \boldsymbol{\cdots}(2)
\end{array}\right.$ гэе. $\vec{\mathstrut{a}}$, $\vec{\mathstrut{b}}$-г
$\vec{\mathstrut{p}}$, $\vec{\mathstrut{q}}$-ээр илэрхийлбэл
$$\vec{\mathstrut{a}}=\dfrac1{10}\vec{\mathstrut{p}}
+\dfrac3{10}\vec{\mathstrut{q}}, \vec{\mathstrut{b}}=\dfrac3{10}\vec{\mathstrut{p}}-\dfrac1{10}\vec{\mathstrut{q}}$$
болох ба $|\vec{\mathstrut{p}}|=|\vec{\mathstrut{q}}|=1$ байна. $$|\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}|^2=\left|\dfrac 25\vec{\mathstrut{p}}+\dfrac 15\vec{\mathstrut{q}}\right|^2=\dfrac1{25}(4|\vec{\mathstrut{p}}|^2+4\vec{\mathstrut{p}}\cdot \vec{\mathstrut{q}}+|\vec{\mathstrut{q}}|^2)=\dfrac5{25}+\dfrac4{25}\vec{\mathstrut{p}}\cdot \vec{\mathstrut{q}}$$
$|\vec{\mathstrut{p}}|=|\vec{\mathstrut{q}}|=1$ байх үед $\max\{\vec{\mathstrut{p}}\cdot\vec{q}\}=1, \min\{\vec{\mathstrut{p}}\cdot\vec{q}\}=-1$ болно. Иймд $\dfrac5{25}-\dfrac4{25}\leq |\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}|^2\leq \dfrac5{25}+\dfrac4{25}\Rightarrow$ $\dfrac 15\leq |\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}|\leq \dfrac 35$ болох ба эндээс $M=\dfrac 35, $ $m=\dfrac 15$ гэж гарна.
болох ба $|\vec{\mathstrut{p}}|=|\vec{\mathstrut{q}}|=1$ байна. $$|\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}|^2=\left|\dfrac 25\vec{\mathstrut{p}}+\dfrac 15\vec{\mathstrut{q}}\right|^2=\dfrac1{25}(4|\vec{\mathstrut{p}}|^2+4\vec{\mathstrut{p}}\cdot \vec{\mathstrut{q}}+|\vec{\mathstrut{q}}|^2)=\dfrac5{25}+\dfrac4{25}\vec{\mathstrut{p}}\cdot \vec{\mathstrut{q}}$$
$|\vec{\mathstrut{p}}|=|\vec{\mathstrut{q}}|=1$ байх үед $\max\{\vec{\mathstrut{p}}\cdot\vec{q}\}=1, \min\{\vec{\mathstrut{p}}\cdot\vec{q}\}=-1$ болно. Иймд $\dfrac5{25}-\dfrac4{25}\leq |\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}|^2\leq \dfrac5{25}+\dfrac4{25}\Rightarrow$ $\dfrac 15\leq |\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}|\leq \dfrac 35$ болох ба эндээс $M=\dfrac 35, $ $m=\dfrac 15$ гэж гарна.
Сорилго
Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.