Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Параллель перпендикуляр чанар (2)
Хавтгайд $ABCD$ параллельограмм ба $PQR$ гурвалжин өгөгдөв. $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AQ}=3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{AB}+2{AC}$ нөхцлүүд биелэх бол дараах нөхцлүүд биелэхийг харуул. (1) $QR\parallel BD, $ (2) $AB=AC$ байхад $PR\perp BC.$
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: $\overrightarrow{AB}=\vec{\mathstrut{b}}$,
$\overrightarrow{AC}=\vec{\mathstrut{c}}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{\mathstrut{d}}$,
$\overrightarrow{AP}=\vec{\mathstrut{p}}$, $\overrightarrow{AQ}=\vec{\mathstrut{q}}$,
$\overrightarrow{AR}=\vec{\mathstrut{r}}$ гэе. Тэгвэл өгөгдсөн нөхцлүүд нь
$\vec{\mathstrut{p}}=2\vec{\mathstrut{b}}+3\vec{\mathstrut{c}}$,
$\vec{\mathstrut{q}}=3\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{c}}$,
$\vec{\mathstrut{r}}=\vec{\mathstrut{b}}+2\vec{\mathstrut{c}}$ болно.
$ABCD$ параллелограмм тул $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
$\Rightarrow$ $\vec{\mathstrut{b}}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}$
$\Rightarrow$ $\vec{\mathstrut{b}}=\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{d}} \boldsymbol{\cdots}(1)$
байна.
(1) $\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AQ}=\vec{\mathstrut{r}}-\vec{\mathstrut{q}}$
$\Rightarrow$
$\vec{\mathstrut{r}}-\vec{\mathstrut{q}}=-2\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{c}}.$
$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\vec{\mathstrut{d}}-\vec{\mathstrut{b}}\Rightarrow$
болох ба (1) нөхцлөөс
$\vec{\mathstrut{d}}=\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{b}}$-г
ашиглавал
$\overrightarrow{BD}=\vec{\mathstrut{d}}-\vec{\mathstrut{b}}=(\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{b}})-\vec{\mathstrut{b}}=-2\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{c}}$
болох ба $\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{BD}\Rightarrow QR\parallel BD$ болно.
(2) $AB=AC$ $\Rightarrow$ $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|$ $\Rightarrow$
$|\vec{\mathstrut{b}}|=|\vec{\mathstrut{c}}|$ болно.
$$\begin{aligned}\overrightarrow{PR}\cdot \overrightarrow{BC}=(\vec{\mathstrut{r}}-\vec{\mathstrut{p}})\cdot (\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{b}})&=(\vec{\mathstrut{b}}+2\vec{\mathstrut{c}}-2\vec{\mathstrut{b}}-3\vec{\mathstrut{c}})\cdot (\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{b}})=\\ &=(-\vec{\mathstrut{b}}-\vec{\mathstrut{c}})\cdot (\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{b}})=|\vec{\mathstrut{b}}|^2-|\vec{\mathstrut{c}}|^2=0\end{aligned}$$
болох тул $\overrightarrow{PR}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{PR}\perp \overrightarrow{BC}$ боллоо.
$$\begin{aligned}\overrightarrow{PR}\cdot \overrightarrow{BC}=(\vec{\mathstrut{r}}-\vec{\mathstrut{p}})\cdot (\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{b}})&=(\vec{\mathstrut{b}}+2\vec{\mathstrut{c}}-2\vec{\mathstrut{b}}-3\vec{\mathstrut{c}})\cdot (\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{b}})=\\ &=(-\vec{\mathstrut{b}}-\vec{\mathstrut{c}})\cdot (\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{b}})=|\vec{\mathstrut{b}}|^2-|\vec{\mathstrut{c}}|^2=0\end{aligned}$$
болох тул $\overrightarrow{PR}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{PR}\perp \overrightarrow{BC}$ боллоо.