Монгол Бодлогын Сан

Заавар:

Бодолт: $\overrightarrow{AB}=\vec{\mathstrut{b}}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{\mathstrut{c}}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{\mathstrut{d}}$, $\overrightarrow{AP}=\vec{\mathstrut{p}}$, $\overrightarrow{AQ}=\vec{\mathstrut{q}}$, $\overrightarrow{AR}=\vec{\mathstrut{r}}$ гэе. Тэгвэл өгөгдсөн нөхцлүүд нь $\vec{\mathstrut{p}}=2\vec{\mathstrut{b}}+3\vec{\mathstrut{c}}$, $\vec{\mathstrut{q}}=3\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{c}}$, $\vec{\mathstrut{r}}=\vec{\mathstrut{b}}+2\vec{\mathstrut{c}}$ болно. $ABCD$ параллелограмм тул $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ $\Rightarrow$ $\vec{\mathstrut{b}}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}$ $\Rightarrow$ $\vec{\mathstrut{b}}=\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{d}} \boldsymbol{\cdots}(1)$ байна. (1) $\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AQ}=\vec{\mathstrut{r}}-\vec{\mathstrut{q}}$ $\Rightarrow$ $\vec{\mathstrut{r}}-\vec{\mathstrut{q}}=-2\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{c}}.$ $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\vec{\mathstrut{d}}-\vec{\mathstrut{b}}\Rightarrow$ болох ба (1) нөхцлөөс $\vec{\mathstrut{d}}=\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{b}}$-г ашиглавал $\overrightarrow{BD}=\vec{\mathstrut{d}}-\vec{\mathstrut{b}}=(\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{b}})-\vec{\mathstrut{b}}=-2\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{c}}$ болох ба $\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{BD}\Rightarrow QR\parallel BD$ болно. (2) $AB=AC$ $\Rightarrow$ $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|$ $\Rightarrow$ $|\vec{\mathstrut{b}}|=|\vec{\mathstrut{c}}|$ болно.

$$\begin{aligned}\overrightarrow{PR}\cdot \overrightarrow{BC}=(\vec{\mathstrut{r}}-\vec{\mathstrut{p}})\cdot (\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{b}})&=(\vec{\mathstrut{b}}+2\vec{\mathstrut{c}}-2\vec{\mathstrut{b}}-3\vec{\mathstrut{c}})\cdot (\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{b}})=\\ &=(-\vec{\mathstrut{b}}-\vec{\mathstrut{c}})\cdot (\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{b}})=|\vec{\mathstrut{b}}|^2-|\vec{\mathstrut{c}}|^2=0\end{aligned}$$

болох тул $\overrightarrow{PR}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{PR}\perp \overrightarrow{BC}$ боллоо.