Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$\triangle ABC$ гурвалжны дотор $P$ цэг авав. $AP$ шулуун $BC$ хэрчмийг $Q$ цэгээр огтлох ба $BQ:QC=3:2$, $AP:PQ=2:1$ бол $5\overrightarrow{AP}+4\overrightarrow{BP}+6\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}$ болохыг батал.
$\triangle ABC$ ба $R$ цэгийн хувьд $6\overrightarrow{RA}+3\overrightarrow{RB}+2\overrightarrow{RC}=\overrightarrow{0}$ нөхцөл биелэх үед $R$ цэгийн байршлыг тодорхойл.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

Өгсөн харьцааг ашиглан $\overrightarrow{AQ}$-г $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$-ээр илэрхийлснээр $\overrightarrow{AP}$-г $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$-ээр илэрхийлж чадна. Гарсан тэнцэлийн $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$-г $\overrightarrow{AP}$, $\overrightarrow{BP}$, $\overrightarrow{CP}$-ээр илэрхийлэхэд батлах зүйл гарна.
Өгсөн нөхцлөөс $\overrightarrow{RA}$, $\overrightarrow{RB}$, $\overrightarrow{RC}$-г $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$-ээр илэрхийлж хувиргалт хийхэд $\overrightarrow{AR}=\dfrac qp\cdot \dfrac{n\overrightarrow{AB}+m\overrightarrow{AC}}{m+n}$ болно. Эндээс $BS:SC=m:n$, $AS:AR=p:q$ байх $R$ цэг гэж хэлж чадна.

Бодолт:

\raggedright $\overrightarrow{AQ}=\dfrac{2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}}{3+2}=\dfrac 25\overrightarrow{AB}+\dfrac 35\overrightarrow{AC}$ ба $\overrightarrow{AP}=\dfrac 23\overrightarrow{AQ}=\dfrac 23\cdot \left(\dfrac 25\overrightarrow{AB}+\dfrac 35\overrightarrow{AC}\right)$ эндээс $15\overrightarrow{AP}=4\overrightarrow{AB}+6\overrightarrow{AC}$ болох ба $15\overrightarrow{AP}=4(\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA})+6(\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PA})$ тул $5\overrightarrow{AP}+4\overrightarrow{BP}+6\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}$ болж батлагдав.
Өгсөн $6\overrightarrow{RA}+3\overrightarrow{RB}+2\overrightarrow{RC}=\overrightarrow{0}$ нөхцлөөс $-6\overrightarrow{AR}+3(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AR})+2(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AR})=\overrightarrow{0}$ болох ба эмхэтгэвэл $11\overrightarrow{AR}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{AR}=\dfrac5{11}\cdot \dfrac{3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}}{2+3}$ хэлбэрт орууллаа.\\ $AR$ нь $BC$-тэй $S$ цэгээр огтлолцсон гэвэл $BS:SC=2:3$ ба үүнээс $AS$ хэрчмийг $AR:RS=5:6$ байхаар хуваасан $R$ цэг байжээ.