Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Радиус векторын хэрэглээ (2)

Хавтгайд үл давхцах $A$ , $B$ , $C$ , $D$ дөрвөн цэг өгөгдөв. $AB$ , $CD$ хэрчмийг харгалзан $1:2$ харьцаанд хуваах $M$ , $N$ цэгүүдийн хувьд $2|\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{BD}|\geq 3|\overrightarrow{MN}|$ тэнцэл биш биелэхийг батал.
Тэгш өнцөгт биш $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төв $O$ байв. $H$ цэгийн хувьд $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ тэнцэл биелдэг бол $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$ болохыг батал.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан

Бодолт

Заавар:

Бодолт:

Туйлыг $O$ -оор сонгон авч $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $M$ , $N$ цэгүүдийн радиус векторуудыг харгалзан $\vec{\mathstrut{a}}$ , $\vec{\mathstrut{b}}$ , $\vec{\mathstrut{c}}$ , $\vec{\mathstrut{d}}$ , $\vec{\mathstrut{m}}$ , $\vec{\mathstrut{n}}$ гэе. Тэгвэл $\vec{m}=\dfrac{2\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}}{3},$ $\vec{n}=\dfrac{2\vec{\mathstrut{c}}+\vec{\mathstrut{d}}}{3}$ болно. $2|\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{BD}|-3|\overrightarrow{MN}|=2|\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{a}}|+|\vec{\mathstrut{d}}-\vec{\mathstrut{b}}|-3|\vec{\mathstrut{n}}-\vec{\mathstrut{m}}|=2|\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{a}}|+|\vec{\mathstrut{d}}-\vec{\mathstrut{b}}|- 3\left|\dfrac{2\vec{\mathstrut{c}}+\vec{\mathstrut{d}}}{3}-\dfrac{2\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}}{3}\right|=|2(\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{a}})|+|\vec{\mathstrut{d}}-\vec{\mathstrut{b}}|-|2(\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{a}})+(\vec{\mathstrut{d}}-\vec{\mathstrut{b}})| \geq 0$ болж тэнцэл биш батлагдав. Учир нь $2(\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{a}})$ , $(\vec{\mathstrut{d}}-\vec{\mathstrut{b}})$ гэсэн хоёр векторын хувьд $|\vec{\mathstrut{a}}|+|\vec{\mathstrut{b}}| \geq|\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}|$ чанарыг ашиглавал үнэн болох нь харагдана. Дээрх хоёр вектор ижил чиглэлтэй үед тэнцэлдээ хүрнэ.
$O$ цэг багтаасан тойргийн төв учраас $|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|$ байна. $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})\cdot (\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})=(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\cdot (\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})= |OC|^2-|OB|^2=0$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$ болж батлагдав.

Сорилго

Хавтгай дахь вектор

Монгол Бодлогын Сан

Радиус векторын хэрэглээ (2)

Бодолт

Сорилго

Түлхүүр үгс

Санал хүсэлт: