Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Векторын хэрэглээ
- ABC гурвалжны периметр 36 нэгж ба түүнд багтсан тойргийн радиус 3 нэгж байв. Тэгвэл Q цэг нь 6→AQ+3→BQ+2→CQ=→0 нөхцлийг хангадаг бол QBC гурвалжны талбайг ол.
- Хавтгайд ABC гурвалжны дотор P цэг өгөгдөв. ABP, BPC, CPA гурвалжнуудын хүндийн төвүүд харгалзан D, E, F бол ABC, DEF гурвалжнуудын талбайн харьцааг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт:
- Өгсөн нөхцөл 6→AQ+3→BQ+2→CQ=→0-ийг хувирган →BQ, →CQ-г →AB, →AC, →AQ-р илэрхийлэн эмхэтгэе. 6→AQ+3(→AQ−→AB)+2(→AQ−→AC)=→0 ⇒ 11→AQ=3→AB+2→AC ⇒ →AQ=511⋅(35→AB+25AC) болно. ABC гурвалжны талбайг \boldsymbol{S=r\cdot p} томъёог ашиглан олбол S_{ABC}=3\cdot \dfrac{36}{2}=54. QS:AS=6:11 \Rightarrow S_{BQC}=\dfrac6{11}S_{ABC}=\dfrac6{11}\cdot 54=\dfrac{324}{11} болно.
- O туйл сонгон авахад A, B, C, D, E, F, P цэгүүдийн радиус векторуудыг харгалзан \vec{\mathstrut{a}}, \vec{\mathstrut{b}}, \vec{\mathstrut{c}}, \vec{\mathstrut{d}}, \vec{\mathstrut{e}}, \vec{\mathstrut{f}}, \vec{\mathstrut{p}} гэе. Тэгвэл \vec{\mathstrut{d}}, \vec{\mathstrut{e}}, \vec{\mathstrut{f}} хүндийн төвийн радиус векторууд гэдгээс \vec{\mathstrut{d}}=\dfrac{\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{p}}}{3}, \vec{\mathstrut{e}}=\dfrac{\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{p}}+\vec{\mathstrut{c}}}{3}, \vec{\mathstrut{f}}=\dfrac{\vec{\mathstrut{c}}+\vec{\mathstrut{p}}+\vec{\mathstrut{a}}}{3} болно. \overrightarrow{DF}=\vec{\mathstrut{f}}-\vec{\mathstrut{d}}=\dfrac{\vec{\mathstrut{c}}+\vec{\mathstrut{p}}+\vec{\mathstrut{a}}}{3}-\dfrac{\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{p}}}{3}=\dfrac 13({\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{b}}})=\dfrac 13\overrightarrow{BC}. \overrightarrow{ED}=\vec{\mathstrut{d}}-\vec{\mathstrut{e}}=\dfrac{\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{p}}}{3}-\dfrac{\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{p}}+\vec{\mathstrut{c}}}{3}=\dfrac 13({\vec{\mathstrut{a}}-\vec{\mathstrut{c}}})=\dfrac 13\overrightarrow{CA}. \overrightarrow{FE}=\vec{\mathstrut{e}}-\vec{\mathstrut{f}}=\dfrac{\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{p}}+\vec{\mathstrut{c}}}{3}-\dfrac{\vec{\mathstrut{c}}+\vec{\mathstrut{p}}+\vec{\mathstrut{a}}}{3}=\dfrac 13({\vec{\mathstrut{b}}-\vec{\mathstrut{a}}})=\dfrac 13\overrightarrow{AB} болно. Дээрх гурван тэнцэлээс ABC ба EFD гурвалжнууд төсөөтэй ба төсөөгийн коэффициент нь 3 байна. Иймд \dfrac{S_{ABC}}{S_{EFD}}=\left(\dfrac 31\right)^2=\dfrac91 \Rightarrow S_{ABC}:S_{EFD}=9:1 болно.