Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$ABC$ гурвалжин өгөгдөв. Дараах нөхцлийг хангах $P$ цэгийн геометр байрыг ол.

$\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$, $s+2t=3$, $s\geq 0$, $t\geq 0.$
$\overrightarrow{OP}=r\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OC}$, $r+s+t=1$, $r\geq 0, s\geq 0, t\geq 0.$

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

Бодолт:

$s+2t=3$ $\Rightarrow$ $\dfrac 13s+\dfrac 23t=1$, $s\geq 0$, $t\geq 0$ учраас $\overrightarrow{AP}=\dfrac 13s\cdot 3\overrightarrow{AB}+\dfrac 23\cdot t\cdot \dfrac 32\overrightarrow{AC}$ гэж бичье. Иймд $3\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}$, $\dfrac32\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}$ гэвэл $P$ цэгийн геометр байр нь $DE$ хэрчим болно.
$\overrightarrow{OP}=r\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OC}$ байх векторуудыг $\overrightarrow{AO}$, $\overrightarrow{AP}$, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$-ээр илэрхийлж эмхэтгэе. Тэгвэл $\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AO}=r\overrightarrow{OA}+s(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AO})+t(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AO})$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{AP}= (r+s+t-1)\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$ болно. Түүнчлэн $r+s+t=1$ $\Rightarrow$ $\left\{% \begin{array}{c} s+t=1-r\\ r\geq 0 \end{array}% \right.\Rightarrow s+t\leq 1$ ба $s\geq 0$, $t\geq 0$ болно. Иймд $ \left\{% \begin{array}{c} \overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}\\ s+t\leq 1, s\geq 0, t\geq 0 \end{array}% \right.$ тул $P$ цэгийн геометр байр нь $ABC$ гурвалжин болон түүний дотоод муж болно.

Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.