Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Параллель болон давхцах нөхцөл
$AD\parallel BC$ ба $AD:BC=1:2$ байх $ABCD$ дөрвөн өнцөгт өгөгдөв. $AB$ талыг $1:3$ харьцаанд хуваах $E$, $CD$ талыг $4:3$ харьцаанд хуваах $F$ цэгүүд авъя. Мөн $AC$, $BD$ диагоналиудын огтлолцлыг $P$ гэвэл $P$ цэг нь $EF$ хэрчим дээр оршихыг батал.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: $\overrightarrow{AB}=\vec{\mathstrut{b}}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{\mathstrut{d}}$ гэе. $AD\parallel BC$ учраас
$AP:PC=AD:BC=1:2$ болно. Нөгөө талаас
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec{\mathstrut{b}}+2\vec{\mathstrut{d}}$ тул:
$$\overrightarrow{AP}=\dfrac 13(\vec{\mathstrut{b}}+2\vec{\mathstrut{d}})$$
байна.
$CF:FD=4:3$
тул
$$\overrightarrow{AF}=\dfrac{3\overrightarrow{AC}+4\overrightarrow{AD}}{4+3}=\dfrac 37(\vec{\mathstrut{b}}+2\vec{\mathstrut{d}})+\dfrac 47\vec{\mathstrut{d}}=\dfrac 37\vec{\mathstrut{b}}+\dfrac{10}7\vec{\mathstrut{d}}$$
болно. Эндээс $$\begin{aligned} \overrightarrow{EP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AE}=\dfrac 13(\vec{\mathstrut{b}}+2\vec{\mathstrut{d}})-\dfrac 14\vec{\mathstrut{b}}=\dfrac1{12}(\vec{\mathstrut{b}}+8\vec{\mathstrut{d}}) & \boldsymbol{\cdots}(1)\\ \overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=\dfrac 73\vec{\mathstrut{b}}+\dfrac{10}7\vec{\mathstrut{d}}-\dfrac 14\vec{\mathstrut{b}}=\dfrac5{28}(\vec{\mathstrut{b}}+8\vec{\mathstrut{d}}) & \boldsymbol{\cdots}(2)\end{aligned}$$
болно. Иймд (1), (2)-аас $\overrightarrow{EP}=\dfrac7{15}\overrightarrow{EF}$ болох тул $P$ цэг $EF$ хэрчим дээр оршино.
$$\overrightarrow{AF}=\dfrac{3\overrightarrow{AC}+4\overrightarrow{AD}}{4+3}=\dfrac 37(\vec{\mathstrut{b}}+2\vec{\mathstrut{d}})+\dfrac 47\vec{\mathstrut{d}}=\dfrac 37\vec{\mathstrut{b}}+\dfrac{10}7\vec{\mathstrut{d}}$$
болно. Эндээс $$\begin{aligned} \overrightarrow{EP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AE}=\dfrac 13(\vec{\mathstrut{b}}+2\vec{\mathstrut{d}})-\dfrac 14\vec{\mathstrut{b}}=\dfrac1{12}(\vec{\mathstrut{b}}+8\vec{\mathstrut{d}}) & \boldsymbol{\cdots}(1)\\ \overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=\dfrac 73\vec{\mathstrut{b}}+\dfrac{10}7\vec{\mathstrut{d}}-\dfrac 14\vec{\mathstrut{b}}=\dfrac5{28}(\vec{\mathstrut{b}}+8\vec{\mathstrut{d}}) & \boldsymbol{\cdots}(2)\end{aligned}$$
болно. Иймд (1), (2)-аас $\overrightarrow{EP}=\dfrac7{15}\overrightarrow{EF}$ болох тул $P$ цэг $EF$ хэрчим дээр оршино.
Сорилго
Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.