Монгол Бодлогын Сан

Заавар:

Бодолт: I арга: Өгсөн харьцаанаас $\overrightarrow{OD}=\dfrac 34\vec{\mathstrut{a}}$, $\overrightarrow{OC}=\dfrac 45\vec{\mathstrut{b}}$ болно. $AP:PC=s:(1-s)$, $BP:PD=t:(1-t)$ гэе. Тэгвэл $$\begin{aligned} &\overrightarrow{OP}=(1-s)\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OC}=(1-s)\vec{\mathstrut{a}}+\dfrac 45s\cdot \vec{\mathstrut{b}} & \boldsymbol{\cdots}(1)\\ &\overrightarrow{OP}=(1-t)\overrightarrow{OB}+t\cdot \overrightarrow{OD}=\dfrac 34t\vec{\mathstrut{a}}+(1-t)\vec{\mathstrut{b}} & \boldsymbol{\cdots}(2) \end{aligned}$$ болно. $\overrightarrow{OP}$-г $\vec{\mathstrut{a}}$, $\vec{\mathstrut{b}}$ векторуудаар нэг утгатай илэрхийлэх тул (2)-аас: $$\left\{% \begin{array}{c} 1-s=\dfrac 34t\\ \dfrac 45s=1-t \end{array}% \right.$$ системийг бодвол $s=\dfrac 58$, $t=\dfrac 12$ гарна. Иймд $\overrightarrow{OP}=\dfrac 38\vec{\mathstrut{a}}+\dfrac 12\vec{\mathstrut{b}}$ боллоо. II арга: $\vec{\mathstrut{a}}\ne \vec{\mathstrut{0}}$, $\vec{\mathstrut{b}}\ne \vec{\mathstrut{0}}$ ба $\vec{\mathstrut{a}}\not\parallel \vec{\mathstrut{b}}$ үед $\overrightarrow{OP}=x\vec{\mathstrut{a}}+y\vec{\mathstrut{b}}$ задаргаа нь нэгэн утгатай байна. $P$ цэг $AC$ шулуун дээр орших тул $\overrightarrow{OP}=x\cdot \overrightarrow{OA}+y\cdot \dfrac 54\cdot \overrightarrow{OC} \boldsymbol{\cdots}(1)$ $P$ цэг $BD$ шулуун дээр оршиx тул $\overrightarrow{OP}=x\cdot \dfrac 43\cdot\overrightarrow{OD}+y\cdot\overrightarrow{OB} \boldsymbol{\cdots}(2)$ болно. Иймд (1), (2)-аас $\left\{% \begin{array}{l} x+\dfrac 54y=1\\ \dfrac 43x+y=1 \end{array}% \right.$ систем гарах ба шийд нь $x=\dfrac 38$, $y=\dfrac 12$ тул $\overrightarrow{OP}=\dfrac 38\vec{\mathstrut{a}}+\dfrac 12\vec{\mathstrut{b}}$ болно.