Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Огтлолцлын цэг ба вектор (2)
$ABCD$ параллелограммын $AB$, $BC$ талуудыг харгалзан $3:2$, $1:2$ харьцаанд хуваах $E$, $F$ цэгүүд өгөгдөв. Мөн $CD$ талын дундаж $M$ байв. $CE$, $FM$ хэрчмүүд $P$ цэгт огтлолцох ба $\overrightarrow{AB}=\vec{\mathstrut{a}}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{\mathstrut{b}}$ бол $\overrightarrow{AP}$ векторыг $\vec{\mathstrut{a}}$, $\vec{\mathstrut{b}}$-ээр илэрхийл.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: $CP:PE=s:(1-s)$, $MP:PF=t:(1-t)$ гэе. Иймд $\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AE}+(1-s)\overrightarrow{AC}=s\cdot
\dfrac 35\cdot \vec{\mathstrut{a}}+(1-s)(\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}})=\left(1-\dfrac25s\right)\vec{\mathstrut{a}}+(1-s)\vec{\mathstrut{b}} \boldsymbol{\cdots}(1).$ Мөн $\overrightarrow{AP}=t\cdot\overrightarrow{AF}+(1-t)\overrightarrow{AM}=t\left(\vec{\mathstrut{a}}+\dfrac13\vec{\mathstrut{b}}\right)+(1-t)\left(\vec{\mathstrut{b}}+\dfrac
12\vec{\mathstrut{a}}\right)=\dfrac{1+t}{2}\vec{\mathstrut{a}}+\dfrac{3-2t}{3}\vec{\mathstrut{b}} \boldsymbol{\cdots}(2)$
болно.
$\overrightarrow{AP}$ вектор нь $\vec{\mathstrut{a}}\ne \vec{\mathstrut{0}}$, $\vec{\mathstrut{b}}\ne \vec{\mathstrut{0}}$,
$\vec{\mathstrut{a}}\not\parallel \vec{\mathstrut{b}}$, байх $\vec{\mathstrut{a}}$, $\vec{\mathstrut{b}}$ векторуудаар
нэгэн утгатай тодорхойлогдох учир (1), (2)-аас
$\left\{%
\begin{array}{c}
1-\dfrac 25s=\dfrac{1+t}{2}\\
1-s=\dfrac{1+t}3
\end{array}%
\right.$ болно. Уг системийг бодвол $s=\dfrac{10}{23}$,
$t=\dfrac{15}{23}$ болох ба
$\overrightarrow{AP}=\dfrac{19}{23}\vec{\mathstrut{a}}+\dfrac{13}{23}\vec{\mathstrut{b}}$ байна.