Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Шулуунууд нэг цэгээр огтлолцох нөхцөл

Дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талуудын дунджийг холбосон хэрчмүүд, диагоналиудын дунджийг холбосон хэрчимтэй нэг цэгт огтлолцохыг батал.
$ABC$ гурвалжны $BC$ , $CA$ , $AB$ талууд дээр харгалзан $D$ , $E$ , $F$ цэгүүдийг авъя. $ABC$ болон $DEF$ гурвалжнуудын хүндийн төвүүд давхцах үед $BD:DC=CE:EA=AF:FB$ биелэхийг батал.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан

Бодолт

Заавар:

Бодолт:

$A$ , $B$ , $C$ , $D$ цэгүүдийн радиус векторуудыг харгалзан $\vec{\mathstrut{a}}$ , $\vec{\mathstrut{b}}$ , $\vec{\mathstrut{c}}$ , $\vec{\mathstrut{d}}$ гэе. Тэгвэл $AB$ , $CD$ -ийн дунджийг дайрсан хэрчмийн дундаж цэгийн радиус вектор

$\dfrac12\left(\dfrac{\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}}{2}+\dfrac{\vec{\mathstrut{c}}+\vec{\mathstrut{d}}}{2}\right)=\dfrac 14(\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{c}}+\vec{\mathstrut{d}})$ болно. Мөн $AD$ , $BC$ -ийн дунджийг дайрсан хэрчмийн дундаж цэгийн радиус вектор

$\dfrac12\left(\dfrac{\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{d}}}{2}+\dfrac{\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{c}}}{2}\right)=\dfrac 14(\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{c}}+\vec{\mathstrut{d}})$ болно. Мөн $AC$ , $BD$ диагоналиудын дунджийг дайрсан хэрчмийн дундаж цэгийн радиус вектор

$\dfrac12\left(\dfrac{\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{c}}}{2}+\dfrac{\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{d}}}{2}\right)=\dfrac 14(\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{c}}+\vec{\mathstrut{d}})$ болно. Иймд эдгээр гурван хэрчмүүд дундаж цэгүүдээрээ огтлолцоно.
$\overrightarrow{AB}=\vec{\mathstrut{b}}$ , $\overrightarrow{AC}=\vec{\mathstrut{c}}$ гэе. Бодлогын нөхцлөөс $\overrightarrow{AF}=h\vec{\mathstrut{b}}$ , $\overrightarrow{AE}=k\vec{\mathstrut{c}}$ , $\overrightarrow{AD}=\vec{\mathstrut{b}}+l(\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{b}})$ гэж үзээд $ABC$ , $DEF$ гурвалжны хүндийн төвүүдийн радиус векторыг олж тэнцүүлбэл $\dfrac13(\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{c}})=\dfrac13\left(h\vec{\mathstrut{b}}+k\vec{\mathstrut{c}}+\vec{\mathstrut{b}}+l(\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{b}})\right)$

болох ба хялбарчилбал $(l-h)\vec{\mathstrut{b}}+(1-k-l)\vec{\mathstrut{c}}=\vec{\mathstrut{0}}$ болно. Түүнчилэн $\vec{\mathstrut{b}}\ne \vec{\mathstrut{0}}$ , $\vec{\mathstrut{c}}\ne\vec{\mathstrut{0}}$ , $\vec{\mathstrut{b}}\not\parallel \vec{\mathstrut{c}}$ учираас $l-h=0$ , $1-k-l=0$ буюу $k=1-h$ , $h=l$ болно. Иймд $BD:DC=CE:EA=AF:FB$ боллоо.

Сорилго

Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.

Монгол Бодлогын Сан

Шулуунууд нэг цэгээр огтлолцох нөхцөл

Бодолт

Сорилго

Түлхүүр үгс

Санал хүсэлт: