Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Шулуунууд нэг цэгээр огтлолцох нөхцөл
- Дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талуудын дунджийг холбосон хэрчмүүд, диагоналиудын дунджийг холбосон хэрчимтэй нэг цэгт огтлолцохыг батал.
- $ABC$ гурвалжны $BC$, $CA$, $AB$ талууд дээр харгалзан $D$, $E$, $F$ цэгүүдийг авъя. $ABC$ болон $DEF$ гурвалжнуудын хүндийн төвүүд давхцах үед $BD:DC=CE:EA=AF:FB$ биелэхийг батал.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт:
-
$A$, $B$, $C$, $D$ цэгүүдийн радиус векторуудыг харгалзан
$\vec{\mathstrut{a}}$, $\vec{\mathstrut{b}}$, $\vec{\mathstrut{c}}$, $\vec{\mathstrut{d}}$ гэе. Тэгвэл $AB$, $CD$-ийн дунджийг дайрсан хэрчмийн дундаж цэгийн радиус вектор
$$\dfrac12\left(\dfrac{\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}}{2}+\dfrac{\vec{\mathstrut{c}}+\vec{\mathstrut{d}}}{2}\right)=\dfrac 14(\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{c}}+\vec{\mathstrut{d}})$$ болно. Мөн $AD$, $BC$-ийн дунджийг дайрсан хэрчмийн дундаж цэгийн радиус вектор
$$\dfrac12\left(\dfrac{\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{d}}}{2}+\dfrac{\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{c}}}{2}\right)=\dfrac 14(\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{c}}+\vec{\mathstrut{d}})$$ болно. Мөн $AC$, $BD$ диагоналиудын дунджийг дайрсан хэрчмийн дундаж цэгийн радиус вектор
$$\dfrac12\left(\dfrac{\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{c}}}{2}+\dfrac{\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{d}}}{2}\right)=\dfrac 14(\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{c}}+\vec{\mathstrut{d}})$$ болно. Иймд эдгээр гурван хэрчмүүд дундаж цэгүүдээрээ огтлолцоно. -
$\overrightarrow{AB}=\vec{\mathstrut{b}}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{\mathstrut{c}}$ гэе.
Бодлогын нөхцлөөс $\overrightarrow{AF}=h\vec{\mathstrut{b}}$, $\overrightarrow{AE}=k\vec{\mathstrut{c}}$,
$\overrightarrow{AD}=\vec{\mathstrut{b}}+l(\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{b}})$ гэж үзээд $ABC$, $DEF$
гурвалжны хүндийн төвүүдийн радиус векторыг олж тэнцүүлбэл
$$\dfrac13(\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{c}})=\dfrac13\left(h\vec{\mathstrut{b}}+k\vec{\mathstrut{c}}+\vec{\mathstrut{b}}+l(\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{b}})\right)$$
болох ба хялбарчилбал $(l-h)\vec{\mathstrut{b}}+(1-k-l)\vec{\mathstrut{c}}=\vec{\mathstrut{0}}$ болно. Түүнчилэн $\vec{\mathstrut{b}}\ne \vec{\mathstrut{0}}$, $\vec{\mathstrut{c}}\ne\vec{\mathstrut{0}}$, $\vec{\mathstrut{b}}\not\parallel \vec{\mathstrut{c}}$ учираас $l-h=0$, $1-k-l=0$ буюу $k=1-h$, $h=l$ болно. Иймд $BD:DC=CE:EA=AF:FB$ боллоо.
Сорилго
Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.