Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$ABC$ гурвалжны $A$ оройн өнцөг $\theta$ ба $\overrightarrow{AB}=(a,b)$, $\overrightarrow{AC}=(c,d)$ байг. Тэгвэл $ABC$ гурвалжны талбайг $S$ гэвэл $S=\dfrac12|ad-bc|$ болохыг батал.
$A(4, 2\sqrt{5})$, $B(\sqrt{3}, 1)$, $C(3\sqrt{5}, 3)$ байх $ABC$ гурвалжны талбайг ол.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

Бодолт:

$\overrightarrow{AB}=\vec{\mathstrut{b}}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{\mathstrut{c}}$ гэе. $0^{\circ}< \theta< 180^{\circ}$ учир $\sin\theta>0$ байна. $S=\dfrac 12|\vec{\mathstrut{b}}|\cdot |\vec{\mathstrut{c}}|\cdot\sin \theta=\dfrac 12|\vec{\mathstrut{b}}|\cdot |\vec{\mathstrut{c}}|\cdot \sqrt{1-\cos^2\theta}=\dfrac 12\sqrt{|\vec{\mathstrut{b}}|^2|\vec{\mathstrut{c}}|^2-(|\vec{\mathstrut{b}}|\cdot|\vec{\mathstrut{c}}|\cos\theta)^2}=\dfrac12\sqrt{|\vec{\mathstrut{b}}|\cdot |\vec{\mathstrut{c}}|^2-(\vec{\mathstrut{b}}\cdot \vec{\mathstrut{c}})^2}$ болно. Эдгээрийг координатаар бичвэл $$S=\dfrac 12\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2}=\dfrac 12\sqrt{(ad-bc)^2}=\dfrac12|ad-bc|$$ болж батлагдав.
$a=\sqrt{3}-4$, $b=1-2\sqrt{5}$, $c=3\sqrt{5}-4$, $d=3-2\sqrt{5}$ учир (1)-д баталсан томъёог хэрэглэвэл $$S=\dfrac 12\left|(\sqrt{3}-4)(3-2\sqrt{5})-(1- 2\sqrt{5})(3\sqrt{5}-4)\right|=$$

$$=\dfrac 12(22+3\sqrt{3}-3\sqrt{5}-2\sqrt{15})$$ болно.

Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.