Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Огтлолцлын цэг, талбай, хэрчмийн урт
$ABC$ гурвалжны хувьд $AB=3$, $AC=2$ ба $BC$, $CA$ талуудыг харгалзан $1:2$, $4:1$ харьцаанд хуваах $D$, $E$ цэгүүд өгөгдөв. $AD$, $BE$ шулуунуудын огтлолцлын цэг $M$, $CM$ шулуун $AB$ талын огтлолцлын цэг $F$ ба $CF$ шулуун $AB$ талд перпендикуляр бол
- $\overrightarrow{CF}$ векторыг $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$-ээр илэрхийл.
- $ABC$ гурвалжны талбай $S$-ыг ол.
- $A$ оройгоос татсан өндөр $CF$ шулуунтай $G$ цэгт огтлолцох үед $AG$ хэрчмийн уртыг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт:
- $\overrightarrow{AB}=\vec{\mathstrut{b}}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{\mathstrut{c}}$, $BM:ME=t:(1-t)$, $\overrightarrow{AM}=m\cdot \overrightarrow{AD}$ гэе. $\overrightarrow{AM}=(1-t)\vec{\mathstrut{b}}+t\cdot \dfrac 15\vec{\mathstrut{c}}=m\left(\dfrac23\vec{\mathstrut{b}}+\dfrac 13\vec{\mathstrut{c}}\right)$ гэдгээс $1-t=\dfrac23m$, $\dfrac 15t=\dfrac m3$ тул $t=\dfrac 57, $ $m=\dfrac 37$ болно. Иймд $\overrightarrow{AM}=\dfrac 27\vec{\mathstrut{b}}+\dfrac 17\vec{\mathstrut{c}}$ боллоо. Мөн $\overrightarrow{CF}=n\cdot\overrightarrow{CM}$, $\overrightarrow{AF}k\cdot\overrightarrow{AB}$ гэвэл $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}=n(\overrightarrow{AM}- \overrightarrow{AC})$ гэдгээс $-\vec{\mathstrut{c}}+k\vec{\mathstrut{b}}=n\cdot \left(\dfrac 27\vec{\mathstrut{b}} -\dfrac 67\vec{\mathstrut{c}}\right)$ болох тул $n=\dfrac 76$, $k=\dfrac 13$ учир $\overrightarrow{CF}=\dfrac 13\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ болно.
- $\overrightarrow{CF}\perp \overrightarrow{AB}$ гэдгээс $\overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ учир $(\vec{\mathstrut{b}}-3\vec{\mathstrut{c}})\cdot\vec{\mathstrut{b}}=0$ болно. $|\vec{\mathstrut{b}}|^2=3^2$ тул $\vec{\mathstrut{b}}\cdot\vec{\mathstrut{c}}=3$ болно. Иймд скаляр үржвэр ашиглан талбай олох томьёо хэрэглэвэл $S=\dfrac 12\sqrt{3^2\cdot2^2-3^2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ боллоо.
- $CG:GF=l:(1-l)$ гэе. $\overrightarrow{AG}\perp \overrightarrow{BC}$ гэдгээс $\left\{l\vec{\mathstrut{b}}+3(1-l)\vec{\mathstrut{c}}\right\}\cdot (\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{b}})=0$ ба $|\vec{\mathstrut{b}}|^2=3^2$, $|\vec{\mathstrut{c}}|^2=2^2$ гэдгийг тооцвол дээрх тэнцэлээс $l=\dfrac 13$ болно. Иймд $\overrightarrow{AG}=\dfrac 19\vec{\mathstrut{b}}+\dfrac 23\vec{\mathstrut{c}}$ учир $|\overrightarrow{AG}|^2=\left|\dfrac 19\vec{\mathstrut{b}}+\dfrac 23\vec{\mathstrut{c}}\right|^2 =\dfrac{21}9$ $\Rightarrow$ $AG=\dfrac{\sqrt{21}}3{}$ боллоо.
Сорилго
Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.