Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Өнцөг олох
BC гипотенуз бүхий ABC адил хажуут тэгш өнцөгт гурвалжны гадна талд AB, AC катетуудаар харгалзан талаа хийсэн ABK, ACL зөв гурвалжнууд байгуулав. BL, CK нь M цэгт огтлолцдог ба →AB=→(b, →AC=→(c бол
- →AK, →AL,
- →BL, →CK векторуудыг тус тус →(b, →(c-ээр илэрхийл.
- KML өнцгийг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт:
- ABC гурвалжин нь тэгш өнцөгт адил хажуут гурвалжин гэдгээс →(b⋅→(c=0, |→(b|⋅|→(c|≠0 байна. Мөн →(b≠→(0, →(c≠→(0, →(b∦ гэдгээс \overrightarrow{AK}=s\vec{\mathstrut{b}}+t\vec{\mathstrut{c}} \boldsymbol{\cdots}(1) байх s, t тоонууд нэгэн утгатай олдоно. \overrightarrow{AK}\cdot \overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AK}|\cdot |\overrightarrow{AB}|\cos 60^{\circ} \boldsymbol{\cdots}(3) учир (1), (2). ABK зөв гурвалжин учир |AK|^2=|AB|^2 \boldsymbol{\cdots}(2) байна. (3)-өөс \left\{% \begin{array}{c} s^2+t^2=1\\ s=\dfrac 12 \end{array}% \right. \Rightarrow t=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2} болно. Харин K цэг ABC гурвалжны гадна талд байх учир t=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} болох ба (1)-д орлуулбал \overrightarrow{AK}=\dfrac 12\vec{\mathstrut{b}}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\vec{\mathstrut{c}} боллоо. Одоо \overrightarrow{AL}-ыг \vec{\mathstrut{c}}, \vec{\mathstrut{b}}-ээр илэрхийлэхдээ \overrightarrow{AK}-г \vec{\mathstrut{b}}, \vec{\mathstrut{c}}-ээр илэрхийсэнтэй адил ба зөвхөн \vec{\mathstrut{b}}, \vec{\mathstrut{c}} векторуудын үүрэг солигдоно. Иймд \overrightarrow{AL}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\vec{\mathstrut{b}}+\dfrac 12\vec{\mathstrut{c}} боллоо.
- \overrightarrow{BL}=\overrightarrow{AL}-\overrightarrow{AB}=-\left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\vec{\mathstrut{b}}+\dfrac 12\vec{\mathstrut{c}}, \overrightarrow{CK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AC}=\dfrac 12\vec{\mathstrut{b}}-\left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\vec{\mathstrut{c}} болно.
- \measuredangle KML=\theta, (0^{\circ}\leq \theta\leq180^{\circ}) гэе. Тэгвэл \overrightarrow{BL}\cdot \overrightarrow{CK}=|\overrightarrow{BL}|\cdot |\overrightarrow{CK}|\cos \theta \boldsymbol{\cdots} (4) байна. Харин (2)-т олсон \overrightarrow{BL}, \overrightarrow{CK}-ийн хувьд \overrightarrow{BL}\cdot \overrightarrow{CK}=-\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}|\vec{\mathstrut{b}}|^2 ба |BL|^2=|CK|^2=(2+\sqrt{3})|\vec{\mathstrut{b}}|^2 учир (4)-өөс -\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}|\vec{\mathstrut{b}}|^2=(2+\sqrt{3})|\vec{\mathstrut{b}}|^2\cos \theta \Rightarrow \cos\theta=-\dfrac 12 учир \theta=120^{\circ} боллоо.