Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Өнцөг олох
$BC$ гипотенуз бүхий $ABC$ адил хажуут тэгш өнцөгт гурвалжны гадна талд $AB$, $AC$ катетуудаар харгалзан талаа хийсэн $ABK$, $ACL$ зөв гурвалжнууд байгуулав. $BL$, $CK$ нь $M$ цэгт огтлолцдог ба $\overrightarrow{AB}=\vec{\mathstrut{b}}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{\mathstrut{c}}$ бол
- $\overrightarrow{AK}$, $\overrightarrow{AL}, $
- $\overrightarrow{BL}$, $\overrightarrow{CK}$ векторуудыг тус тус $\vec{\mathstrut{b}}$, $\vec{\mathstrut{c}}$-ээр илэрхийл.
- $KML$ өнцгийг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт:
- $ABC$ гурвалжин нь тэгш өнцөгт адил хажуут гурвалжин гэдгээс $\vec{\mathstrut{b}}\cdot\vec{\mathstrut{c}}=0$, $|\vec{\mathstrut{b}}|\cdot|\vec{\mathstrut{c}}|\ne0$ байна. Мөн $\vec{\mathstrut{b}}\ne \vec{\mathstrut{0}}$, $\vec{\mathstrut{c}}\ne \vec{\mathstrut{0}}$, $\vec{\mathstrut{b}}\not\parallel \vec{\mathstrut{c}}$ гэдгээс $\overrightarrow{AK}=s\vec{\mathstrut{b}}+t\vec{\mathstrut{c}} \boldsymbol{\cdots}(1)$ байх $s, t$ тоонууд нэгэн утгатай олдоно. $\overrightarrow{AK}\cdot \overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AK}|\cdot |\overrightarrow{AB}|\cos 60^{\circ} \boldsymbol{\cdots}(3)$ учир (1), (2). $ABK$ зөв гурвалжин учир $|AK|^2=|AB|^2 \boldsymbol{\cdots}(2)$ байна. (3)-өөс $ \left\{% \begin{array}{c} s^2+t^2=1\\ s=\dfrac 12 \end{array}% \right.$ $\Rightarrow$ $t=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ болно. Харин $K$ цэг $ABC$ гурвалжны гадна талд байх учир $t=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ болох ба (1)-д орлуулбал $\overrightarrow{AK}=\dfrac 12\vec{\mathstrut{b}}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\vec{\mathstrut{c}}$ боллоо. Одоо $\overrightarrow{AL}$-ыг $\vec{\mathstrut{c}}$, $\vec{\mathstrut{b}}$-ээр илэрхийлэхдээ $\overrightarrow{AK}$-г $\vec{\mathstrut{b}}$, $\vec{\mathstrut{c}}$-ээр илэрхийсэнтэй адил ба зөвхөн $\vec{\mathstrut{b}}$, $\vec{\mathstrut{c}}$ векторуудын үүрэг солигдоно. Иймд $\overrightarrow{AL}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\vec{\mathstrut{b}}+\dfrac 12\vec{\mathstrut{c}}$ боллоо.
- $\overrightarrow{BL}=\overrightarrow{AL}-\overrightarrow{AB}=-\left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\vec{\mathstrut{b}}+\dfrac 12\vec{\mathstrut{c}}$, $\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AC}=\dfrac 12\vec{\mathstrut{b}}-\left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\vec{\mathstrut{c}}$ болно.
- $\measuredangle KML=\theta, (0^{\circ}\leq \theta\leq180^{\circ})$ гэе. Тэгвэл $\overrightarrow{BL}\cdot \overrightarrow{CK}=|\overrightarrow{BL}|\cdot |\overrightarrow{CK}|\cos \theta \boldsymbol{\cdots} (4)$ байна. Харин $(2)$-т олсон $\overrightarrow{BL}$, $\overrightarrow{CK}$-ийн хувьд $\overrightarrow{BL}\cdot \overrightarrow{CK}=-\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}|\vec{\mathstrut{b}}|^2$ ба $|BL|^2=|CK|^2=(2+\sqrt{3})|\vec{\mathstrut{b}}|^2$ учир (4)-өөс $-\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}|\vec{\mathstrut{b}}|^2=(2+\sqrt{3})|\vec{\mathstrut{b}}|^2\cos \theta$ $\Rightarrow$ $\cos\theta=-\dfrac 12$ учир $\theta=120^{\circ}$ боллоо.