Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Шулууны хувьд тэгш хэмтэй цэг
$ABC$ гурвалжны хувьд $\overrightarrow{AB}=\vec{\mathstrut{b}}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{\mathstrut{c}}$, $\vec{\mathstrut{b}}\cdot\vec{\mathstrut{c}}=m$, $|\vec{\mathstrut{b}}|=b$, $|\vec{\mathstrut{c}}|=c$ байв. $C$, $D$ цэгүүд $AB$ шулууны хувьд тэгш хэмтэй, $B$, $E$ цэгүүд $AC$ шулууны хувьд тэгш хэмтэй байв.
- $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{DE}$-г $\vec{\mathstrut{b}}$, $\vec{\mathstrut{c}}$, $m$, $b$, $c$-ээр илэрхийл.
- $\overrightarrow{DE}\parallel \overrightarrow{BC}$ үед $ABC$ гурвалжин ямар өнцөгт гурвалжин байх вэ?
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт:
- $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HD}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{CH}=2\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AC}=\dfrac{2m}{b^2}\cdot \vec{\mathstrut{b}}-\vec{\mathstrut{c}}.$ Үүнтэй адилаар $\overrightarrow{AE}=\dfrac{2m}{c^2}\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{b}}$ болно. Иймд $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=-\left(\dfrac{2m}{b^2}+1\right)\vec{\mathstrut{b}}+\left(\dfrac{2m}{c^2 } +1\right)\vec{\mathstrut{c}}$ боллоо.
- $\overrightarrow{DE}\parallel \overrightarrow{BC}\Rightarrow \overrightarrow{DE}=k\cdot \overrightarrow{BC}$ байх $k\in \mathbb R$ олдоно.
Иймд
$$-\left(\dfrac{2m}{b^2}+1\right)\vec{\mathstrut{b}}+\left(\dfrac{2m}{c^2}+1\right)\vec{\mathstrut{c}}=k(\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{b}})$$
буюу $\vec{\mathstrut{b}}\ne \vec{\mathstrut{0}}$, $\vec{\mathstrut{c}}\ne \vec{\mathstrut{0}}$, $\vec{\mathstrut{b}}\not\parallel \vec{\mathstrut{c}}$ учир $\dfrac{2m}{b^2}+1=k$, $\dfrac{2m}{c^2}+1=k$ гэдгээс $k$-аар тэнцүүлбэл $m=0$, $b^2-c^2=0$ болно. Иймд $m=0 \Rightarrow \vec{\mathstrut{b}}\perp \vec{\mathstrut{c}}$ ба $b^2-c^2=0$ $\Rightarrow$ $|\vec{\mathstrut{b}}|=|\vec{\mathstrut{c}}|$ учир $\measuredangle A=90^{\circ}$, $AB=AC$ $\Rightarrow$ $ABC $ нь адил хажуут тэгш өнцөгт гурвалжин байна.
Сорилго
Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.