Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Координат ба вектор (Зөв гурвалжин)
$OXY$ хавтгайд $S(s,s)$, $T(-t,t)$ цэг авав. Энд $s\geq 0$, $t\geq 0$ ба $s^2+t^2=2$ байв. Мөн $P(x,y)$ $(|x|\leq y)$ цэгийг $SPT$ нь зөв гурвалжин байхаар авчээ. $ST$ хэрчмийн дундаж $M$ бөгөөд $PM$ шулуун $OX$ тэнхлэгийг $R$ цэгт огтолно. Тэгвэл $ST=2$, $OM=1$, $MR=1$ болохыг тус тус харуул. Мөн $\overrightarrow{OM}$ нь $OX$ тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй $\theta$ өнцөг үүсгэдэг бол $P$ цэгийн координатыг $\theta$-өөр илэрхийл.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: $ST=\sqrt{(s+t)^2+(s-t)^2}=\sqrt{2(s^2+t^2)}=\sqrt{2\cdot
2}=2$.
$OM=\sqrt{\left(\dfrac{s-t}{2}\right)^2+\left(\dfrac{s+t}2\right)^2}=\sqrt{\dfrac{s^2+t^2}{2}}=1$.
$M$ нь $PST$ зөв гурвалжны $TS$ талын дундаж учир $PM$ нь $PM\perp ST$ ба $PM\parallel PR$ гэдгээс $\overrightarrow{MR}\cdot \overrightarrow{ST}=0$ байна. $R(r, 0)$ гэвэл $\left(r-\dfrac{s-t}{2}\right)(-t-s) +\left(-\dfrac{s+t}{2}\right)(t-s)=0$ ба $(s+t)(r-s+t)=0$ болно. $s\geq 0$, $t\geq 0$, $s^2+t^2=2$ гэсэн нөхцлөөс $s+t>0$ болох тул дээрх тэнцэл нь $r=s-t$ үед л биелнэ. Иймд $\overrightarrow{MR}=\left(\dfrac{s-t}{2},-\dfrac{s+t}{2}\right)$ $\Rightarrow$ $MR=\sqrt{\left( \dfrac{s-t}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{s+t}{2}\right)^2}=1$ боллоо. Түүнчилэн $OM=MR=1$ гэдгээс $\measuredangle MRO=\measuredangle MOR=\theta$ болох тул $M(\cos\theta, \sin\theta)$ ба $PST$ зөв гурвалжны талын урт нь 2 нэгж бол $PM$ өндөр нь $\sqrt{3}$ болно. $\overrightarrow{RM}=(-\cos\theta, \sin\theta).$ Иймд $(x,y)=\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{OM}+\sqrt{3}\cdot \overrightarrow{RM}= (\cos\theta-\sqrt{3} \cos\theta, \sin\theta-\sqrt{3}\sin\theta)$ боллоо.
$OM=\sqrt{\left(\dfrac{s-t}{2}\right)^2+\left(\dfrac{s+t}2\right)^2}=\sqrt{\dfrac{s^2+t^2}{2}}=1$.
$M$ нь $PST$ зөв гурвалжны $TS$ талын дундаж учир $PM$ нь $PM\perp ST$ ба $PM\parallel PR$ гэдгээс $\overrightarrow{MR}\cdot \overrightarrow{ST}=0$ байна. $R(r, 0)$ гэвэл $\left(r-\dfrac{s-t}{2}\right)(-t-s) +\left(-\dfrac{s+t}{2}\right)(t-s)=0$ ба $(s+t)(r-s+t)=0$ болно. $s\geq 0$, $t\geq 0$, $s^2+t^2=2$ гэсэн нөхцлөөс $s+t>0$ болох тул дээрх тэнцэл нь $r=s-t$ үед л биелнэ. Иймд $\overrightarrow{MR}=\left(\dfrac{s-t}{2},-\dfrac{s+t}{2}\right)$ $\Rightarrow$ $MR=\sqrt{\left( \dfrac{s-t}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{s+t}{2}\right)^2}=1$ боллоо. Түүнчилэн $OM=MR=1$ гэдгээс $\measuredangle MRO=\measuredangle MOR=\theta$ болох тул $M(\cos\theta, \sin\theta)$ ба $PST$ зөв гурвалжны талын урт нь 2 нэгж бол $PM$ өндөр нь $\sqrt{3}$ болно. $\overrightarrow{RM}=(-\cos\theta, \sin\theta).$ Иймд $(x,y)=\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{OM}+\sqrt{3}\cdot \overrightarrow{RM}= (\cos\theta-\sqrt{3} \cos\theta, \sin\theta-\sqrt{3}\sin\theta)$ боллоо.
Сорилго
Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.