Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$\begin{pmatrix}1 & 5\\2 & 4\end{pmatrix}$ бол $A^2+a\cdot A+b\cdot E=0$ байх $a, b$-г ол.
$x^n$-ийг $x^2-5x-6$-д хуваахад гарах үлдэгдэл $a_nx+b_n$-ийг ол.
$A^n$-ийг ол.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

Бодолт:

$A^2-(a+d)\cdot A+(ad-bc)\cdot E=0$ байдаг тул $A^2-5A-6E=0$ байна.
$x^2-5x-6=(x-6)(x+1)$ тул $x^n=(x-6)(x+1)\cdot Q(x)+a_nx+b_n$ болно. $x=6$ гэвэл $6^n=6a_n+b_n$, $x=-1$ гэвэл $(-1)^n=-a_n+b_n$ байна. Эндээс $a_n=\dfrac{6^n-(-1)^n}{7}$, $b_n=\dfrac{6^n+6\cdot(-1)^n}{7}$ гэж олдоно.
$x^n=(x^2-5x-6)\cdot Q(x)+a_nx+b_n$ гэдгийг санавал $A^n=(A^2-5A-6E)\cdot Q(A)+a_n\cdot A+b_n\cdot E$ болно. Иймд $A^n=(A^2-5A-6E)\cdot Q(A)+a_n\cdot A+b_n\cdot E$ болно. Иймд $$\begin{aligned} A^n&=\dfrac{6^n-(-1)^n}{7}\cdot\begin{pmatrix}1 & 5\\2 & 4\end{pmatrix}+\dfrac{6^n+6\cdot(-1)^n}{7}\cdot E\\ &=\dfrac17\begin{pmatrix}2\cdot6^n+5\cdot(-1)^n & 5\cdot6^n-5\cdot(-1)^n\\2\cdot6^n+2\cdot(-1)^n & 5\cdot6^n+2\cdot(-1)^n\end{pmatrix} \end{aligned}$$ болно.