Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Ялгавар дараалал (2)
6,24,60,120,210,336,504,… дарааллын ерөнхий гишүүнийг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: Дарааллын дараалсан хоёр гишүүний ялгавар дарааллыг сонирхоё:
18, 36, 60, 90, 126, 168,\ldots \boldsymbol{\cdots}(1)
байна. (1) дарааллын ялгавар дараалал нь: 18, 24, 30, 36, 42,\ldots \boldsymbol{\cdots}(2)
байна. (2) дарааллын ялгавар дараалал нь: 6, 6, 6, 6,\ldots \boldsymbol{\cdots}(3)
байна. Эндээс харахад (3)-р дараалал тогтмол 6 байна. (2)-р ялгавар дарааллыг c_n гэвэл c_1=18, d=6 байх арифметик прогресс байна. Иймд c_n=12+6n болно. (1)-р ялгавар дарааллыг b_n гэвэл b_{n+1}-b_n=c_n, b_1=18 байна. Иймд n\ge 2 үед \sum\limits_{k=1}^{n-1}c_k=\sum\limits_{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)=b_n-b_1=b_n-18 болно.
\sum_{k=1}^{n-1}c_k=\sum_{k=1}^{n-1}(12+6n)=12(n-1)+6\cdot\dfrac{n(n-1)}{2}=3n^2+9n-12 учир b_n=3n^2+9n+6 болно. Анхны дарааллыг a_n гэвэл a_{n+1}-a_n=b_n, a_1=6 тул n\ge2 үед \sum\limits_{k=1}^{n-1}b_k=\sum\limits_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)=a_n-a_1=a_n-6 болно. \begin{aligned}\sum_{k=1}^{n-1}b_k&=\sum_{k=1}^{n-1}(3k^2+9k+6)=\sum_{k=1}^{n-1}3k^2+\sum_{k=1}^{n-1}9k+\sum_{k=1}^{n-1}6\\ &=3\cdot\dfrac{(n-1)n(2n-1)}{6}+9\cdot\dfrac{n(n-1)}{2}+6\cdot(n-1)=n^3+3n^2+2n-6 \end{aligned} тул a_n=n^3+3n^2+2n болно.
байна. (1) дарааллын ялгавар дараалал нь: 18, 24, 30, 36, 42,\ldots \boldsymbol{\cdots}(2)
байна. (2) дарааллын ялгавар дараалал нь: 6, 6, 6, 6,\ldots \boldsymbol{\cdots}(3)
байна. Эндээс харахад (3)-р дараалал тогтмол 6 байна. (2)-р ялгавар дарааллыг c_n гэвэл c_1=18, d=6 байх арифметик прогресс байна. Иймд c_n=12+6n болно. (1)-р ялгавар дарааллыг b_n гэвэл b_{n+1}-b_n=c_n, b_1=18 байна. Иймд n\ge 2 үед \sum\limits_{k=1}^{n-1}c_k=\sum\limits_{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)=b_n-b_1=b_n-18 болно.
\sum_{k=1}^{n-1}c_k=\sum_{k=1}^{n-1}(12+6n)=12(n-1)+6\cdot\dfrac{n(n-1)}{2}=3n^2+9n-12 учир b_n=3n^2+9n+6 болно. Анхны дарааллыг a_n гэвэл a_{n+1}-a_n=b_n, a_1=6 тул n\ge2 үед \sum\limits_{k=1}^{n-1}b_k=\sum\limits_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)=a_n-a_1=a_n-6 болно. \begin{aligned}\sum_{k=1}^{n-1}b_k&=\sum_{k=1}^{n-1}(3k^2+9k+6)=\sum_{k=1}^{n-1}3k^2+\sum_{k=1}^{n-1}9k+\sum_{k=1}^{n-1}6\\ &=3\cdot\dfrac{(n-1)n(2n-1)}{6}+9\cdot\dfrac{n(n-1)}{2}+6\cdot(n-1)=n^3+3n^2+2n-6 \end{aligned} тул a_n=n^3+3n^2+2n болно.