Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$3^{\frac12+\log_3\sin x}+6^{\frac12}=9^{\frac12+\log_9\cos x}$ тэгшитгэл нь

Тодорхойлогдох муждаа $\sqrt{\fbox{a}}\sin x+\sqrt{\fbox{b}}=\fbox{a}\cos x$ тэгшитгэлтэй тэнцүү чанартай юм.
Сүүлийн тэгшитгэл нь $\cos\left(x+\dfrac{\pi}{\fbox{c}}\right)=\dfrac{\sqrt{\fbox{d}}}{\fbox{d}}$ тэгшитгэлтэй тэнцүү чанартай бөгөөд энэ тэгшитгэл нь $x_1=-\dfrac{\pi}{\fbox{c}}+\dfrac{\pi}{\fbox{e}}+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$ ба $x_1=-\dfrac{\pi}{\fbox{c}}-\dfrac{\pi}{\fbox{e}}+2\pi m$, $m\in\mathbb Z$ гэсэн хоёр бүлэг шийдтэй.
Эдгээр шийдээс $x_1=\dfrac{\pi}{\fbox{fg}}+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$ бүлэг шийд нь манай анхны тэгшитгэлийн шийд болно.

ab = 36

cde = 624

fg = 12

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 19.20%

Заавар:

$3^{\frac12+\log_3\sin x}=3^{\frac12}\cdot 3^{\log_3\sin x}=\sqrt{3}\cdot \sin x$ үүнтэй төстэйгөөр $9^{\frac12+\log_9\cos x}$ илэрхийллийг хувирга.
$\cos\alpha\cos x-\sin\alpha\sin x=\cos(x+\alpha)$ томьёог ашиглавал $$a\cos x-b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\cos(x+\alpha)$$ байна. Энд $\alpha$ нь $\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ байх өнцөг.
Логарифм функцийн аргумент эерэг тоо байх ёстой тул анхны тэгшитгэлийн тодорхойлогдох муж нь $\sin x>0$, $\cos x>0$ байна.

Бодолт:

$3^{\frac12+\log_3\sin x}+6^{\frac12}=9^{\frac12+\log_9\cos x}\Leftrightarrow \sqrt{3}\sin x+\sqrt{6}=3\cos x$ болно.
$$\sqrt{3}\sin x+\sqrt{6}=3\cos x\Leftrightarrow 3\cos x-\sqrt{3}\sin x=\sqrt6\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \sqrt{12}\cos(x+\alpha)=\sqrt{6}$$ ба $$\cos\alpha=\dfrac{3}{\sqrt{12}}=\dfrac{\sqrt3}{2},~~\sin\alpha=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt{12}}=\dfrac12$$ тул $\alpha=\dfrac{\pi}{6}$ байна. Иймд $\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}$ тул $$x_1=-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$ ба $$x_1=-\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z$$
$\sin x>0$, $\cos x>0$ байх $x$ өнцөг нь I мужийнх тул $$x=-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4}+2\pi n=\dfrac{\pi}{12}+2\pi n$$ байна.